No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
>Aを原点として空間座標で考えるも断念
どこで断念されたのでしょうか?
とりあえず、Aを原点として都合のいいようにCをx軸に
持ってくると
A(0,0,0),B(1,2√2,0),C(2,0,0),D(1,3/√2,√(7/2))になります。
平面αの法線ベクトル(a,b,c) (ただし、a^2+b^2+c^2=1)が
xy平面と作る角度をω、射影がx軸と作る角度をτとすると
a=cosτcosω,b=sinτcosω,c=sinωとなります。
点と平面の距離の公式から
BP+CQ+DR=|a+2√2*b|+|2a|+|a+3/√2*b+√(7/2)*c|
場合分けすればいいのですが、最大値を求めるので全てが同符号で
ある方がいいのは自明ですから全て正について書きます。
(正式ではないので本当に解答するときはきちんと書いてください)
BP+CQ+DR=|a+2√2*b|+|2a|+|a+3/√2*b+√(7/2)*c|
=4a+7/√2*b+√(7/2)*c
=4cosτcosω+7/√2*sinτcosω+√(7/2)*sinω
これを三角関数の合成2回で一つにまとめると
=2√11*sin(ω+θ)
よって最大値は2√11だと思います。
検算してください。
No.5
- 回答日時:
#2です。
訂正です。
>A(0,0,√8),B(0,-1,0),D(0,1,0)
>とすると
>D(√(7/2),0,3/√2)
C(√(7/2),0,3/√2) の転記ミスです。
>となります。
>L=BP+CQ+DR
>=(2|b|+|a√(7/2)-(1/√2)|/√{(a^2)+(b^2)+1}
=(|b+2√2|+|a√(7/2)-(1/√2)|+|b-2√2|)/√{(a^2)+(b^2)+1}
と訂正です。
この訂正で以下の修正が発生します。
>この最大値を求めると
>a=-√7,b=±2√2でLmax=2√2
a=-√7/9,b=0で Lmax=2√11
>この時のαは
>-x√7±2y√2+z=2√2
x√7 -9z +18√2=0
また
BP=DR=9/√11,CQ=4/√11
となります。
これで合っていると思います。
No.3
- 回答日時:
あっているのか、完全に不明です・・・
まず、AC がα上にあるとしたとき、BP+DRの最大はどう
なるかと見れば、点B,DはAC の中点を中心とした
半径2√2の同一円周上を動くから、加法定理だ余弦定理だ
とかで、結局、辺BDがαと平行になるときとわかります。
で、そのとき、BP=DRであり、BDの中点をMとして
αに垂線MNを引けばBP=MNとなります。
よって、2MN+C Qの最大を見ればいいことになり、MN,
C Q,Aを含む断面で考えると、点MはAを中心とする
半径2√2の円の一部を描き、点C はAを中心とする半径
2の円の一部を描き、しかも∠C AMはcos∠C AM=√2/4
を満たしたままM,C が同時に動きます。
で、これも加法定理などで、最後は最大値2√11(およそ6.6)
と妙な数が。。
実際、△BC Dを底面としたとき、この四面体の高さは√14/2
なので、この3倍の3√14/2(およそ5.6)なので、それくらい
なのかなあという感じ。
友達探して、答えだけでも教えてー。
No.2
- 回答日時:
4面体の立体が構成不可能でしたので、回答を控えていましたが、訂正があり今度は立体が構成できました(実現できました)ので回答します。
4面体ABCDの頂点をXYZ座標で表し
A(0,0,√8),B(0,-1,0),D(0,1,0)
とすると
D(√(7/2),0,3/√2)
となります。
α:ax+by+(z-√8)=0とおくと
L=BP+CQ+DR
=(2|b|+|a√(7/2)-(1/√2)|/√{(a^2)+(b^2)+1}
と出てきます。
この最大値を求めると
a=-√7,b=±2√2でLmax=2√2
と出てきました.
この時のαは
-x√7±2y√2+z=2√2
となりました。
(両辺を定数倍した式は同じ平面の式になります。)
なお、合っているかどうかは分かりませんが、後は自力で途中の計算を補ってやってみて下さい。理解できなければ諦めて下さい。
途中の計算は大変ですのでここでは省略しました。
別の方法で最大値を出されたなら、答え合せして見てください。
No.1
- 回答日時:
>四面体ABCDはAB=BC=CD=DA=2,AC=BD=3をみたす
問題を間違えていませんか?
例えば正方形ABCDがあり、この対角線がそれぞれ3だとすると
一辺の長さは3/√2≒2.12
すでに2を超えています。ここで対角線ACを持ち上げてみると
一辺の長さ(AB,BC,CD,DA)は長くなるばかりです。2にはなりません。
つまり、題意を満たすような四面体は無いと思います。
この回答への補足
AB=BC=CD=DA=2,AC=BD=3→AB=BC=CD=DA=3,AC=BD=2
の間違いでした。すみません。
ご指摘ありがとうございます。再度よろしくお願いします。
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