数列について

(等比数列)
次の数列の一般項を求めよ。
(１)１，１１，１１１１１…
（２）１２５，１２５１２５，１２５１２５１２５，…

（等差数列）
数列A；2,5,8…1001 数列B；10,20,30,…1000はともに等差数列である。
（１）AとBとに共通に含まれる数はどんな数列をつくるか。

分からないんで分かりやすくよろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2002/10/09 22:05

等比数列の問題のほう、きっとまだ習ってないでしょうが「漸化式」というものを使ってとくことも可能です。

いつか漸化式を習ったときに思い出してくださいね。

第ｎ項をa(n)とかくことにすると、
a(1)=1
a(i)=10*a(i-1)+1
と立式できる。
この式を変形するとa(i)+1/9=10(a(i)+1/9)（この式変形がツボなんです）
ここでa(i)+1/9=b(i)とおくと・・・けっこううまくできます。

この問題のおすすめ解法は、「階差数列」「漸化式」「９倍して１を足し、最後に９で割る方法」ですか。
「９倍して１を足し、最後に９で割る方法」は知ってたらできるけど、気づかなかったら・・・ねぇ。という感じがしなくもないです。
漸化式は、パターン「10倍して1を足してる」という事実が読み取れればよいので気づきやすい。
でも、なんかちょっと変わった数列だな・・・と思ったら、階差数列をとることをお薦めします。（高校の数列の問題を解く分には、という限定ですが）


（等差数列）
「3でわって2あまる数」であり、かつ「10で割り切れる数」はどんな数ですか？
と書き換えれば、とたんに小学生か中学生の問題にはやがわりします。^^

しかし式でまじめにやろうと思うと、意外や意外、「不定方程式の整数解」問題という、少し高級な問題になってしまいます。

共通の数を3a+2=10b（a,bは整数）とおいて、この方程式を解くことになります。
まず(a,b)=(6,2)は解なので、3(a-6)=10(b-2)と書けます。
ここで、左辺は３の倍数なので右辺も３の倍数、でも10は3の倍数でないから、「b-2が３の倍数である」ことがいえます．
よって、b-2=3k（kは整数）とおける。このときa-6=10k、（共通の数）=30k+20
あとはkを求めれば完璧。^^

No.3 回答者： zabuzaburo 回答日時： 2002/10/09 21:30

[等差数列の(2)]

#1の方法なら、階差数列の知識を用いて解くことになります。
あるいは(1)とよく似た解法も可能で、
(ア)125, 125125, 125125125, 125125125125, ……
全項を125で割ると
(イ)1, 1001, 1001001, 1001001001, ……
さらに999倍すると
(ウ)999, 999999, 999999999, 999999999999, ……
(そして1を加えると)
(エ)1000, 1000000, 1000000000, 1000000000000, ……
すなわち
(エ)10^3, 10^6, 10^9, 10^12, ……
となり、(エ)の一般項は 10^(3n)ですね。
(エ) = (ア)÷125×999 + 1ですから、逆算して
(ア) = [(エ) - 1] ×(999/125)として求まります。

No.2 回答者： tako291 回答日時： 2002/10/09 21:14

等比数列（１）は、まず　次の数列を用意します。

１０、１００、１０００、・・・・
全ての項から１を引くと
９、９９、９９９、・・・・
全ての項を９で割ると
１、１１、１１１、・・・・
と出ます。一般項は自分で考えましょう。

等差数列はＡの公差が3、Ｂの公差が10ってことは
求める等差数列って公差が30になりそうじゃないですか。
証明は、、親切な人にお任せします。

ではでは。

No.1 回答者： mellowy 回答日時： 2002/10/09 20:55

等比数列（２）だけですけど。

第一項と第二項の差が 125,000
第二項と第三項の差が 125,000,000
ですから
第三項と第四項の差が 125,000,000,000
となると思います。

ここで差を見ると ０ が３つずつ増えてますので
10の3n乗個の増加となるので

n>=1となるには、

125 x 10^3(n-1) となります。



こんな感じです。
間違っていたら御免なさい。