合同式・・・。

ｎ∈N,a∋Z(ｎは1つに固定しておく)　C(a)=｛x|x∈Z,x≡a(mod n)｝は合同という関係による同値類であるが,「C(a)⊆C(b),C(a)⊇C(b)」を示すことによって,次を証明せよ。
「b∈C(a)⇒C(a)=C(b)」
という問題です。
回答の糸口が全然みつかりません。
なにを示せばよいのでしょうか？教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： i536 回答日時： 2002/11/21 10:51

「b∈C(a)⇒C(a)=C(b)」を証明することは、b∈C(a)の条件下で、下記(1)(2)を証明することです。

(1)任意のｘについてx∈C(a)⇒x∈C(b)を証明します、するとC(a)⊆C(b)がいえます。
(2)任意のｘについてx∈C(b)⇒x∈C(a)を証明します、するとC(a)⊇C(b)がいえます。

(1)(2)から、C(a)⊆C(b)とC(a)⊇C(b)とが証明されると、C(a)=C(b)が成立します。

No.3 回答者： fushigichan 回答日時： 2002/11/21 12:01

こんにちは！

証明の仕方は、まず集合C(a)の任意の要素ｘが集合C(b)の要素であることがいえれば、
C(a)⊆C(b)
また集合C(b)の任意の要素ｙが集合C(a)の要素になっていることが言えれば
C(a)⊇C(b)がいえます。

Ａ⊆ＢかつＡ⊇ＢならばＡ＝Ｂという定理があるので、上のことがいえれば
C(a)=C(b)集合として等しいことがいえます。

さて、証明です。
C(a)=｛x|x∈Z,x≡a(mod n)｝において任意のｘをとってくれば
適当な整数ｐが存在し、
x=np+a
とかけますね。
さて、今b∈C(a)とすると、
ｂは集合C(a)の要素ですから、適当な整数ｒが存在し
b=nｒ+aとかけるはずです。

ここでC(b)=｛x|x∈Z,x≡b(mod n)｝ですからこの集合の任意の要素は
適当な整数ｑが存在して
y=nq+b
とかけることになります。さて、b=np+aとかけていましたから、ｙ⊆C(b)なる任意のｙに対して
y=nq+b=nq+nｒ+a
=n(ｒ+q)+a⊆C(a)

逆に、b=nｒ+a,a=-nｒ+bよりx⊆C(a)なる任意のｘに対して
x=np+a=np+(-nr+b)
=n(p-r)+b⊆C(b)
がいえます。

以上のことより、C(a)⊆C(b)かつC(b)⊆C(a)がいえたので、C(a)=C(b)
が証明された。

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2002/11/21 10:59

ｎ∈N,a∈Z(ｎは1つに固定しておく)　

C(a)=｛x|x∈Z,x≡a(mod n)｝
　これは、x-a が　n　で割り切れる。という意味です。
b∈C(a)　とすると、Ｃ(b)⊆C(a)　が成り立つことを示します。
　x∈C(b) とすると、x-b=nk　となり、 b-a=np　なので
x-a=（x-b）－（ b-a）=　nk－np=n(k-p)　
となり、　Ｃ(b)⊆C(a)　が分かる。
　こんな調子でやってゆけばできます。