４次元の影は何次元？？

Question

No.36677 質問：次元について 
を楽しく拝見させていただきましたがどうしても気になることが有ります。 
あまりに、くだらないことかもしれませんが私なりに気になってしまい投稿に至りました。

以下本題。

３次元の影は２次元ですよね…おそらく

もし、４次元の物体があるとすればその物体の影は何次元でしょうか？？
そもそも、４次元の物体というのは存在するのでしょうか？？

ない知恵絞って考えたんですが、４次元（空間の３次元＋時間の１次元）であっても、影は２次元の連続であると考えてしまうのですが間違いでしょうか？？

どんな意見でもかまいませんおねがいします。

motsuan · Accepted Answer

時空の変換はローレンツ変換にしたがって変換された時空を、人間であれば空間成分を
なんかその普通の光景として捉えることが多いのではないでしょうか？
たとえば、地面に移った人の影（２次元）が時間（１次元）変化したからといって
なんか４次元が３次元に射影されたとあんまり思わないような気がします。
かといってローレンツ収縮した像をみたからといって時間成分が空間成分と混ざっているとか思うわけでもなく。
まあ普通の景色に見えちゃうのではないでしょうか？
捻じ曲がった空間であればまた違うような気がします。
（たとえばクラインの壷のような空間を２次元面に射影すると全体像はどうなるかとか？
　射影（写像）の仕方により変わってくるのだと思うのですが？トポロジーの問題ですね）

話はぜんぜん４次元の影ではないのですが、射影の話で思い出したことを勝手に書きます。
２次元格子を傾けて１次元に射影するとフィボナッチ列の格子点ができます。
（何度に傾けるかはわすれました。多分tanθ=(1+sqrt(5))/2かな？）
このフィボナッチ列をフーリエ変換する（回折像をとる）と、実は射影方向に断面をとったときの面で回折された像が得られ、
フィボナッチ列は準周期的な格子なので、それに対応して強い回折点の周りに弱い回折点が分布した
（フラクタルになっているのですけど）回折像がが得られます。
フィボナッチ列の準周期的構造は高次元でみれば正規の格子構造をもっていて、その構造を１次元でみれるというところがこの話のミソです。
そこで、話を逆転させます。
ある種のひずみの掛かった格子状態を回折像でみると、ひずみのない状態の回折点のまわりに弱い回折点が現れます。
この回折点の解析として、（結晶は３次元なので）４次元の格子（あるいはもっと高次元の格子）と捉えてみようという考えもあります。
（最近はどうなったのでしょう？ちなみに、ある種のひずみの掛かった格子状態とは
たとえば、電荷密度波とよばれる状態が結晶内で実現しその波の周期が結晶の周期と異なることにより発生します。）
その他、準結晶とよわれるマンガンアルミ合金の構造を５次元の立方格子とみることができます。
でも次元を上げたからといって、３次元＋（１次元／２次元）の物性が見えるというわけではなく、
電子状態は複雑なバンド構造をもつようです。残念。
この原理が一番役立っている医療用断層写真でしょう。強度の射影のフーリエ変換が内部の密度分布をあたえる。
話が脱線しすぎました。ごめんなさい。

noname#25358 · Answer

気が付くとなにやら難しい回答が色々出ている様子……(笑)

　えとですね。俺の説については、「影は投影されるものではないから」というのが答えです。
　影はそこに写るものではなく、あくまで「光が当たっていない部分」ですから、ただ単にそこにある物が暗くなっているだけなのです。
　ですから、そもそも「影という物体」そのものが存在しないことになるのです。

nuts · Answer

stomachman先生たちの素晴らしい回答の後で素人考えを書くのも気が引けるのですが。

＞４次元（空間の３次元＋時間の１次元）であっても、影は２次元の連続

この場合、二次元＋時間の三次元になるんじゃないですかね。三次元空間にはX,Y,Z軸があり、X軸の方向から光を当てるとY-Z平面に影が生じる。そのとき時間軸Tが存在していれば、Y,Z,Tの三次元ということに（定義上は）なるんじゃないでしょうか。
T軸の方向から光を当てたら……どうなるのかな。たぶん瞬間を切り取るというかたちになるんでしょうけれど、具体的なイメージは湧いてきませんね。歴史の光と陰が明らかになるのかもしれない。なんちゃって。

stomachman · Answer

普通の３次元の空間の３つの軸と直交する、これら３軸と全く対等な４本目の軸を持っていて、この中で自由自在に回転ができる空間。つまり互いに直交する４本の軸を、その空間の中にどういう風に入れても対等である、そういう４次元空間の話ですね。（普通の時空としての４次元＝３次元空間＋時間では、時間軸は空間軸と自由に入れ替える訳には行かない。オカルトのヒトはできると言うでしょうが放っときます。）
　そういう４次元空間に物理的な物体が存在しうるか、というのは難しい問題です。物理の法則が全然違ってくるから。この宇宙で成り立っている基本的な法則をそのまま４次元＋時間の時空へ持ち込んだら、多分物質は生じないんじゃないかと思います。例えば電気力が距離の２乗じゃなく３乗に反比例することになり、遠くまで力が届かない。いや分かりませんけどね。

　それはさておき、まずウオームアップとして３次元空間で考えてみます。「影」ではなく「陰」を考えたらどうでしょう。タバコの煙が充満した部屋の中に窓から日光が差している。その光の中にボールを突っ込んでみると、ボールから後ろに光が届かない場所が円筒形の空間として生じるのが見えるわけで、これは３次元的です。この「陰」を「スクリーン」：すなわちある曲面で切り取った断面が「影」という訳ですから、スクリーンの曲面の次元が幾らなのかという話とだいたい等価な訳で、今度は（deagleさんやDESTINYさんの仰るように）「曲面の次元て何？」という話になります。スクリーンが糸なら１次元だし、無限に細かいでこぼこを持つフラクタル図形をスクリーンにするなら2.2次元なんて事もアリです。
　ここまでは「光が直進する」という素朴な仮定を置いた話ですが、物理現象としてはそうじゃない。実際レンズを通せば光は曲がる。スクリーン上に虫眼鏡で太陽の光を集めるとき、虫眼鏡の影はどうなるか。円形の虫眼鏡全体がまるで不透明であるかのような影ができ、その真ん中に太陽の像ができる。この場合「陰」は円筒形から円錐形を引き去った残りの形になってます。
　さらに光の波長によって屈折率がちがう。物の表面で反射も起こる。縁では回折が起こる。波長より小さい影は出来ないからフラクタルスクリーンだって無限に細かいでこぼこがどうなるのか。細かい粒子が相手だと波長によって散乱の仕方が違うなど、物理をきちんとやらないと、実は「陰」がどうなるか分からない。（従って「影」も。）

　３次元でもこういう事情ですから、４次元の場合もやっぱり物理法則を構築してから議論する必要がある。まず屏風の虎を追い出して貰わなくちゃ。
　あれま全然回答になってないや。

DESTINY · Answer

かげの問題ですが、
３次元の物体を２次元の空間に投影したら２次元になります。
３次元の物体を１次元空間に投影したら１次元になってしまいます。

ということは、４次元の物体を３次元空間に投影すると３次元、２次元空間に投影すると２次元です。

noname#25358 · Answer

実際には、４次元空間を見た人がいないので想像で書くしかないのが現状だと思うのですが……３次元物体の影って、本当に２次元ですか？
　たとえば部屋の壁に写った影は、壁自体のデコボコに関わらず扁平ですか？　アスファルトは、影になった部分だけつるつるのまっ平らになりますか？(笑)

　壁にデコボコがあれば影もデコボコになります。
　もし影が２次元の存在ならば、その影が写っている壁だって２次元ということになってしまうでしょう（広義には壁は２次元ですが）。

　ですから、３次元の影は３次元です。
　よって４次元の影も４次元になります。

４次元の影は何次元？？

時空の変換はローレンツ変換にしたがって変換された時空を、人間であれば空間成分を

気が付くとなにやら難しい回答が色々出ている様子……(笑)

stomachman先生たちの素晴らしい回答の後で素人考えを書くのも気が引けるのですが。

普通の３次元の空間の３つの軸と直交する、これら３軸と全く対等な４本目の軸を持っていて、この中で自由自在に回転ができる空間。

かげの問題ですが、

実際には、４次元空間を見た人がいないので想像で書くしかないのが現状だと思うのですが……３次元物体の影って、本当に２次元ですか？

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