線形空間と写像、基底について

線形代数の問題でちょっと分からないので分かる方教えてください。
問題は、
次の集合Ｘに対して
Ｖ:＝ＸからＲへの写像全体のなす実線形空間
とする。Ｖの基底を見つけよ。
(1)Ｘ＝｛x_1,x_2,x_3｝
(2)Ｘ＝｛x_1,x_2,x_3,……,x_n｝
(3)Ｘ＝｛x_1,x_2,x_3,……,x_n,……｝
です。写像の基底が分かりません。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： fef 回答日時： 2008/10/21 22:46

ANo.1に補足です．

------
体 F 上のベクトル空間 V の元 v_1, .. , v_n に対して，
span(v_1, .. , v_n) とは v_1, .. , v_n によって張られる空間を表す．
すなわち，
span(v_1, .. , v_n) = {a_1 v_1 + .. + a_n v_n | a_1, .. , a_n in F}.

集合 V の線型性より，任意の a_1, .. , a_n in F に対し，
a_1 v_1 + .. + a_n v_n in V
となるので，span(v_1, .. , v_n) は V の部分集合となる．
------

ベクトル空間 V の基底とは，
・Vの元の線型独立な組で，
・それらによって張られる空間が V に一致する
ようなものを言います．
したがって，基底を求めよという問題では，まず基底を予想し，
それらが線型独立であることと V を張ることとを示せばよいことになります．

(2)に関して言えば，次のように定めた函数 f_1, .. , f_n in V が基底となります:
f_1: x_1 |-> 1, x_2 |-> 0, x_3 |-> 0, .. , x_n |-> 0;
f_2: x_1 |-> 0, x_2 |-> 1, x_3 |-> 0, .. , x_n |-> 0;
f_3: x_1 |-> 0, x_2 |-> 0, x_3 |-> 1, .. , x_n |-> 0;
....................................................
f_n: x_1 |-> 0, x_2 |-> 0, x_3 |-> 0, .. , x_n |-> 1.
基底の取り方は一意ではありませんが，
(3)への接続も考えると，この組がベストではないでしょうか．

そして，問題の(3)ですが，
上の基底の作り方を自然に拡張して，無限個の函数を用意すればよいでしょう．
ANo.2の方の書き方を用いれば，答案を圧縮できますね．

通常，線型代数の講義では有限次元に話を限定しますが，
函数空間を考え出すと，どうしても無限次元ベクトル空間の話をしなければなりません．
これはそのイントロ的な問題です．

この回答へのお礼

よく分かりました。とても詳しい解答ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/23 22:16

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/22 20:06

謝罪と訂正：

No.3 は全面的に間違っていました。
Ｘ = { (x_1, x_2, x_3) } と勘違いした。
スミマセン。

この回答へのお礼

解答ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/23 22:22

No.5 回答者： noname#161582 回答日時： 2008/10/22 00:00

#2です。

#3さんは

＞線型写像全体のなす線型空間なら、
　No.1 No.2 さんの書いて居られるとおり。

とおっしゃっておられますが、それはないです。

写像の定義域にあたる集合Xがベクトル空間ならば線形写像も
考えられ、#3さんの言うように特に線形写像に限定すれば
Vは単にXの双対空間なので基底を選ぶのは容易です。

しかし今の場合、例えば(1)の場合3個の元からなる集合Xが
ベクトル空間になりえることを、私には示すことができません。
元が有限個なのでスカラー倍を考えると、少なくとも集合XはR上
またはC上のベクトル空間にはなりえません。

また集合X = {x_1,x_2,x_3｝の各元が何なのか全くわかっていないので
「原点」や(x_1)^i といった量は定義できないと思います。


#1さんや私の考察は線形写像ではなく一般の写像についてのものです。

#1さんの言うとおり基底であることを示すには、一次独立かつそれで
Vを張ることを示せばよいわけですが、#1,#2の解法はその手順どおり
なわけです。

この回答へのお礼

とても詳しい解答ありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2008/10/23 22:18

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/21 22:29

「写像全体のなす実線形空間」だと、広すぎて、

基底を挙げてみせるのは、容易ではありませんね。

線型写像全体のなす線型空間なら、
No.1 No.2 さんの書いて居られるとおり。

原点で正則な写像全体のなす線型空間の基底なら、
{ (x_1)^i (x_2)^j (x_3)^k　|　i,j,k は非負整数 }
が挙げられるかもしれません。

No.2 回答者： noname#161582 回答日時： 2008/10/21 15:59

写像 E_1,E_2,E_3 ∈V をクロネッカーの記号を用いて

E_i(x_j) = δi,j (i,j=1,2,3)

と定義します。任意の写像 F∈V に対し

F(x_i) = f_i ∈R

とおけば

F=Σf_i*E_i (iについて和をとる)

のようにFはE_iの一次結合で表わせます。
集合Xの元の個数が増えても考え方は同様です。

{E_i}の一次独立性を示すには、Vの零ベクトルに相当する写像

Ｏ(x_i)=0 (i=1,2,・・・,)

に対し、

ΣC_i*E_i = Ｏ　⇒　C_i=0

を言えばよいでしょう。

No.1 回答者： fef 回答日時： 2008/10/21 15:57

(1)の解答だけで十分でしょう．

次の函数 f_1, f_2, f_3 は V の元である:
f_1: x_1 |-> 1, x_2 |-> 0, x_3 |-> 0;
f_2: x_1 |-> 0, x_2 |-> 1, x_3 |-> 0;
f_3: x_1 |-> 0, x_2 |-> 0, x_3 |-> 1.

まず，これらが線型独立であることを示そう．
定義域 X の任意の元 x に対して
a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x) + a_3 f_3(x) = 0
が成り立つとすると，
x = x_1 の場合を考えて a_1 = 0，
x = x_2 の場合を考えて a_2 = 0，
x = x_3 の場合を考えて a_3 = 0．
確かに，f_1, f_2, f_3 は線型独立である．

次に，V = span(f_1, f_2, f_3) なることを示そう．
集合 V の任意の元 f に対して，
b_1 := f(x_1), b_2 := f(x_2), b_3 := f(x_3)
とおけば，定義域 X の任意の元 x に対して
f(x) = b_1 f_1(x) + b_2 f_2(x) + b_3 f_3(x).
これは f in span(f_1, f_2, f_3) なることを表し，
したがって V は span(f_1, f_2, f_3) の部分集合．
もとより span(f_1, f_2, f_3) は V の部分集合であるから，結局，
V = span(f_1, f_2, f_3)
である．

以上より，f_1, f_2, f_3 は V の基底をなす．

この回答への補足

すみません、spanて何ですか？
あと(2)と(3)で定義域の元の個数が違う(ｎ個と無限個)んですが、解答(基底の取り方)は変わるのでしょうか？

補足日時：2008/10/21 21:33