以下のように解いたのですが、解答に自信がありません。
途中の式など、間違っていればご指摘のほどよろしくお願いします。
次の原始関数を求めよ。
(1)
∫(x+1)^5 dx
x+1=tとおく。
(dt/dx)=1より、dx=dt
よって、∫(x+1)^5 dx=∫t^5 dt
=(1/6)t^6+C
=(1/6)(x+1)^6+C (Cは積分定数)
(2)
∫e^(5x) dx
5x=tとおく
(dt/dx)=5より、dx=(dt/5)
=∫e^(t)(dt/5)+C
=(1/5)e^(5x)+C (Cは積分定数)
(3)
∫x/(x^2+1)^2 dx
=∫{(x+1)-1}/(x^2+1)^2 dx
=(1/2)∫{(2x+2)-2}/(x^2+1)^2 dx
=(1/2)∫(x^2+1)'/(x^2+1)^2 dx
=(1/2)log|(x^2+1)^2|+C (Cは積分定数)
(4)
∫1/√(23-x^2) dx
公式 ∫1/√(a^2-x^2) dx=sin^(-1) x/√a+C (a>0)より
=sin^(-1) x/√23 +C (Cは積分定数)
ご指導、よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
(4)はあっています。
No.1
- 回答日時:
得られた答えを微分してみましょう。
正しければ被積分関数と同じになります。
(1)
d{(1/6)(x+1)^6+C}/dx
= 1/6*6*(x+1)^(6-1) = (x+1)^5
(2)
d{(1/5)e^(5x)+C}/dx
= 1/5*e^(5x)*5 = e^(5x)
(3)
d{(1/2)log|(x^2+1)^2|+C}
= d{log(x^2+1)+C}/dx
= 1/(x^2+1)*2x
= 2x/(x^2+1)
(4)
d{sin^(-1) x/√23 +C}/dx
= わからないのでパス
少なくとも(3)の答えは間違っているようです。
ご指摘ありがとうございます。
>得られた答えを微分してみましょう。
そうでした。基本的なことを忘れていました。
ご指摘ありがとうございました。
>少なくとも(3)の答えは間違っているようです。
これでどうでしょう?
微分して、元に戻ると思うのですが。。。
x^2+1=tとおくと、(dt/dx)=2x、よってdx=(dt/2x)
与式=∫x/t^2 dx = ∫x/t^2 (dt/2x)
= (1/2)∫t^(-2)dt = (1/2)・(-1)・t^(-1)+C
= (-1/2)・(1/t)+C = -1/(2(x^2+1))+C (Cは積分定数)
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