積分するとなぜ面積が求まる？

Question

F(x)を微分したらf(x)。
すなわちF'(x)＝f(x)のときに質問です。
なぜ

f(x)
グラフのx軸、
x=a
x=b

で囲まれた部分の面積Sはf(x)の定積分で求まるんでしょうか。
教えて下さい。
またそれを触れてくれているサイトがあれば教えて下さい。
お願いします。

proto · Accepted Answer

因果が逆とか面積を求めるのが定積分とか言われてますが、それだけではないですよ。

確かに多変数関数では1変数関数と同じ意味での原始関数を求めることが出来ないので、区分求積法を持ち出して、関数によってつくられる体積(面積)によって定積分を定義してしまうのです。
しかし1変数関数に限れば、話はそれだけでは終わりません。

グラフで囲まれる面積は区分求積法によって定義され、(ある場合には)実際に求めることも出来ます。
さらに別の方向から見れば、面積は原始関数を用いても計算することが出来るのです。
区分求積法で求めた面積と、(微分の逆演算である)積分から求めた面積が一致すること、これは真に驚くべき事実です。
このことを『積分の基本定理』と呼びます。非常に重要な定理です。


では、面積が原始関数によって求められることを証明してみましょう。
いま区間[a,b]で連続でf(x)≧0なる関数を用いて、y=f(x)とx軸さらにx=b,x=aで囲まれる面積Sを考えます。
区間[a,b]の間に点xをとり、aからxまでの曲線とx軸で囲まれる面積をS(x)とします。
次にS(x)をxで微分するために、xをΔxだけ増加させたときのS(x)の増分ΔSを考えます。
ΔSは画像のグレーで塗られた部分になります。このΔSの面積は赤線で囲んだ長方形よりも小さく青線で囲んだ長方形より大きいですね。
(いま仮に局所的に単調増加な区間で説明していますが増加減少に関わらず同様に証明は出来ます。
また、中間値の定理を用いることでもっと明確な証明が出来ます。)

長方形の底辺はΔx、高さはそれぞれf(x)とf(x+Δx)ですから、これを式で書くと
　　Δx*f(x) ≦ ΔS ≦ Δx*f(x+Δx)
辺々をΔxで割って
　　f(x) ≦ ΔS/Δx ≦ f(x+Δx)

ここでΔx→0の極限を考えます。
f(x)は[a,b]で連続よりf(x+Δx)→f(x)で、はさみうちの定理より
　　lim[Δx→0]{ΔS/Δx} = S'(x) = f(x)
よってS(x)を微分するとf(x)になる、つまりS(x)はf(x)の原始関数の一つであることが分かりました。
そこでf(x)の原始関数をF(x),Cを定数と置いて
　　S(x) = F(x)+C
と書きます。
いまS(x)はaからxまでの面積を表しています。S(a)はaからaまでの面積で、当然これは0なので
　　S(a) = F(a)+C = 0
です。
変形して、
　　C = -F(a)
　　S(x) = F(x)-F(a)
よってaからbまでの面積Sは
　　S = S(b) = F(b)-F(a)
となり、曲線で囲まれた面積が原始関数に区間の端の数を代入し差分をとることで求められるということが示されました。

余談ですが、原始関数から面積を求める考え方を多変数に拡張して応用したものとしてグリーンの定理やストークスの定理があります。
区間の端を調べるだけで定積分の内部を知ることが出来る不思議な定理です。
これらを学んだ後に積分の基本定理を見直すとこの定理の奥深さを改めて知ることが出来るでしょう。

chie65535 · Answer

因果関係が逆。

「面積を求める為に定積分が発明された」のだから、面積が求まらない訳がない。

質問者さんの、この質問は

「掃除機の電源をコンセントに差してスイッチを押すと、吸い込み口から空気が吸われます。この掃除機で掃除はできますか？」

と質問しているのと同じです。その答えは

「掃除する為に掃除機が発明されたのだから、掃除できない訳がない」

になります。

なお「どうして面積が求まるのか？」は別の話。

arrysthmia · Answer

それは、面積の定義に関わる問題です。
そもそも、グラフが囲む面積とは、何でしょう？
それを定義しないことには、話が始まりません。

極めて開き直った立場としては、
囲まれる図形の内部と境界で１、外部で０の値をとる
関数の平面上での積分を「面積」と定義するやりかた
があります。この定義の下では、御質問の内容は、
二次元の重積分を、一次元の累次積分で表す公式を
訊ねていることになります。

参考： http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/140ksk.html

ORUKA1951 · Answer

定積分の定義そのものに関わる部分ですので、教科書の積分の一番最初のあたりに詳しく書かれているはずです。
　面積を出すためには、細かく刻んで足せばよい、細かさをどんどん突き詰めていくと、こういう形になる。それを定積分の計算だよと・・・。

{部分の面積Sはf(x)の定積分で求まるんでしょうか。}
ではなくて、面積を求める方法が定積分なのですから・・

info22 · Answer

面積は負ではありませんから、
a≦x≦bでf(x)≧0の時に限って
S=∫[a,b] f(x)dx
(S=F(b)-F(a)≧0)
となります。

参考サイト
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/teisekibun-to-menseki.html
http://opencourse.doshisha.ac.jp/open/bunka_joho/07179107001/integral6.htm
http://www.isc.meiji.ac.jp/~re00104/ch08/index.html
http://anchoret.seesaa.net/article/68789089.html

BookerL · Answer

微分・積分の基本的なことなので、教科書を見るのが一番だと思います。要は、グラフを縦に切り刻んで、細い部分を長方形に近似して面積を出す、ということです。この近似を極限まで持って行けば、誤差がなくなる、というのが定積分の考え方です。

　Ｗｅｂサイトなら「定積分 面積」などで検索すればいろいろ出てきますよ。

例えば

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku2/sekibunh/teiseki2/teiseki2.htm
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/integral2.htm

積分するとなぜ面積が求まる？

因果が逆とか面積を求めるのが定積分とか言われてますが、それだけではないですよ。

因果関係が逆。

それは、面積の定義に関わる問題です。

定積分の定義そのものに関わる部分ですので、教科書の積分の一番最初のあたりに詳しく書かれているはずです。

面積は負ではありませんから、

微分・積分の基本的なことなので、教科書を見るのが一番だと思います。

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　定積分の定義そのものに関わる部分ですので、教科書の積分の一番最初のあたりに詳しく書かれているはずです。

　微分・積分の基本的なことなので、教科書を見るのが一番だと思います。