整数が３で割り切れることを示せ

２つの問に対する，詳細な解説をお願いします．

（あ）与えられた３つの整数a，a+1，a+2について，このうちひとつの整数が３で割り切れることを示せ．
（い）a，b，cを整数とし，cはaもbも割り切るとする．このとき任意の整数x，yについて，cは(xa+yb)を割り切ることを示せ．

No.4 ベストアンサー 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/05/27 22:42

割り切れるということは、どういうことかを考えればわかります。

ａがｃで割り切れるとは、ある整数ｑが存在して、ａ＝ｑ・ｃとなることです。これは余りがないことと同じですが、単に余りがないというだけでは具体性に欠けます。
（あ）背理法で行きましょう。
３つの整数ａ，ａ＋１，ａ＋２がいずれも３で割り切れないと仮定
する。このとき、余りは１か２の２通りです。
３つとも余りが１か２とすると、どれか２つは、余りが同じになり
ます。すると、その２つの整数に対する商が異なることになります。
商が異なると、２つの整数は少なくとも差は３です。問題の整数は
高々２しか差はありませんから矛盾します。したがって、どれかは３で割り切れなければならないことになります。
（い）ｃがａもｂも割り切るならば、ａ＝ｍ・ｃ、ｂ＝ｎ・ｃとなる
整数ｍ、ｎが存在する。したがって、
（ｘａ＋ｙｂ）＝ｘｍｃ＋ｙｎｃ＝（ｘｍ＋ｙｎ）ｃ
となるから、ｃで割り切れる。
少し説明しすぎてしまいました。これでわかりますか。

No.3 回答者： denbee 回答日時： 2009/05/27 22:31

ヒントだけ

（あ）
整数aを３で割った余りを考えます。
　a)余り０の場合→説明するまでもありませんね。
　b)余りが1の場合→a+2がどうなるか考えてみましょう。
　c)余りが2の場合→a+1がどうなるか考えてみましょう。

（い）
　cがaもbも割り切ることができるとすると、a,bはそれぞれ
　a=lc
b=mc
（m,lは任意の整数）
と表すことができます。これを(xa+yb)に代入して式を整理すると・・・？

No.2 回答者： masa072 回答日時： 2009/05/27 22:31

（あ）は難しくないですよ。

いろんな論証がありますが，一番単純なのは，a=3k,3k+1,3k+2(kは整数)の3通りを計算すると必ず3の倍数になるものがあります。
また，連続したn個の整数の中に1つnの倍数があります。これは，nで割った余りは0からn-1のn個で，数字が1大きくなれば余りは1大きくなる(nになれば割り切れるので0)ことから示せます。

（い）cはaもbも割り切るので，a=ck,b=clと書ける。(k,lは整数)
従って，xa+yb=xck+ycl=c(xk+yl)となるのでcはxa+ybを割り切る。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/05/27 22:26

(あ) … 具体的な a をいくつか考えてみれば自明です。

(い) … さらに自明です