No.2ベストアンサー
- 回答日時:
xdy/dx=y+√(x^2+y^2)
この与えられた微分方程式の両辺に 1/x を乗ずる.
dy/dx=y/x+(1/x)√(x^2+y^2)
変形すると
dy/dx=y/x+√[(1/x^2)(x^2+y^2)]
dy/dx=y/x+√(1+y^2/x^2)
ここで,
u=y/x
とおく.この u=y/x の両辺を微分すると,
du/dx=(xy'-y)/x^2
となる.y' は dy/dx を表す. y' について解くと,
x^2 du/dx+y=xy'
y'=x du/dx+y/x
u=y/x を用いると,
y'=dy/dx=x du/dx+u
これにより微分方程式 dy/dx=y/x+√(1+y^2/x^2) は,
dy/dx=y/x+√(1+y^2/x^2)=x du/dx+u
u=y/x だから,この式は,
u+√(1+u^2)=x du/dx+u
したがって,
x du/dx=√(1+u^2)
となる.この式を変形して,積分する.
du/√(1+u^2)=1/x dx
c を積分定数として積分すると,
∫du/√(1+u^2)=∫1/x dx+c
log[u+√(1+u^2)]=log(x)+c
ここで, c=log(C), (C≠0) とすると,
log[u+√(1+u^2)]=log(x)+log(C)
log[u+√(1+u^2)]=log(Cx)
自然対数 log(・) をはずして,
u+√(1+u^2)=Cx
となります.u=y/x なので,これにより
y/x+√[1+(y/x)^2]=Cx
これが,与えられた微分方程式の一般解です.変形して
y+√[x^2+y^2]=Cx^2
とも書けます.この一般解を微分して得られる式と,
一般解の y+√[x^2+y^2]=Cx^2 から C を消去すると,
与式:xdy/dx=y+√(x^2+y^2)となります.
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