写像と部分集合の関係

fを集合Aから集合Bへの写像とし、A1,A2をAの部分集合、B1,B2をBの部分集合とし
たとき、
f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2)
と
f^(-1)（f（A1））⊃A1
が成り立つそうですが、なぜ
f(A1∩A2)=f(A1)∩f(A2)
や
f^(-1)（f（A1））=A1
とならないのかがわかりません。
（f^(-1)は逆写像です）

No.2 ベストアンサー 回答者： OurSQL 回答日時： 2009/06/20 13:46

まず、最後の行に

>（f^(-1)は逆写像です）

とありますが、逆写像というのは何かの勘違いではありませんか。

strict inclusion になる具体例ですが、例えば、

f(x) = x^2, A = {-1, 0, 1}, A1 = {-1, 0}, A2 = {0, 1}

などはいかがでしょう。

No.10 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/23 08:23

なるほど。

集合写像 f~-1 は、集合写像 f の
逆写像には、なりませんね。
寝ぼけていたようです。陳謝。

f~-1 は、やはり
f の集合写像の逆写像ではなく、
f の逆写像の集合写像と
言うべきでした。
集合写像は、多価関数を一意化する
技法でもあります。

まあ、質問文中の「逆写像」は、f~-1 が
逆数じゃなくて逆対応の意味だ…
という程の註釈でしょうから、
やや脱線が過ぎた気はしますが。

用語に拘るのならば、むしろ
「逆像」が f~-1 の名前なのか、
f~-1( B1 ) の名前なのかの方が
基本的な気も。

No.9 回答者： OurSQL 回答日時： 2009/06/22 17:49

質問者さんの疑問は、なかなか解決しそうもない雰囲気でしょうか ＾＾；

f ^(-1) ( f (A1) ) という表記において、f ^(-1) を写像とみなす流儀はあります。

ですが、その場合でも、f ^(-1) は一般に f の逆写像にはなりません。

"not in general the inverse of the associated set function"

というフレーズで Google 検索すれば、そのあたりを解説した資料が見つかります。

それに、もし f が逆写像を持つなら、その逆写像は f ^(-1) に一致して、質問者さんが感じているように、

f ( A1 ∩ A2 ) = f (A1) ∩ f (A2)　は成り立つし、

f ^(-1) ( f (A1) ) = A1　も成り立ちます。

しかし、それではお手持ちの教科書を執筆した人物（おそらくは、権威ある数学者）が、初歩的ミスを犯したことになります。

そういう可能性はほぼゼロでしょうから、そこでの f ^(-1) は逆写像でないと解釈するのが妥当だと思います。

No.8 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/21 23:08

f(A1) を、f(A1) の逆像 f^-1( f(A1) ) へ対応させる写像 f^-1

のことを、何といいますか？

No.7 回答者： OurSQL 回答日時： 2009/06/21 21:47

f ^(-1) ( f (A1) ) を、f (A1) の「逆像」といいます。

おそらく、「逆写像」と「逆像」を混同しているのではないでしょうか。

質問者さんの質問内容は、おそらく、

f ^(-1) ( B1 ∩ B2 ) = f ^(-1) (B1) ∩ f ^(-1) (B2)

は成立するのに、

f ( A1 ∩ A2 ) = f (A1) ∩ f (A2)

が成立しないのはなぜか？

とか、

f ( f ^(-1) (B1) ) = B1

は成立するのに、

f ^(-1) ( f (A1) ) = A1

が成立しないのはなぜか？

という疑問ではないでしょうか。

そうだとしたら、#2 ですでに回答済みです。
（ただし、B についてコメントするのを忘れたので、B = Z を付け加えておきます）

この回答へのお礼

そうですね。
教科書に載っている公式の中で、このふたつだけが＝記号ではなく∈記号を使っていたので不思議に思って質問しました＾＾；
ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/23 12:27

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/21 21:41

「逆像」は、逆写像による像のことですよ。

「逆写像」は、写像のひとつ。
「逆像」は、写像の定義域（逆写像の値域）の
元または部分集合のひとつ。

質問文中に f( A1 ) などが出て来る時点で、この f は、
当初与えられた A から B への写像 f ではありません。
もとの f であれば、代入できるのは A の元だけであり、
A の部分集合 A1 を代入することはできない。

この f は、f( A1 ) = { f(a) | a∈A1 } を意味しており、
A から B への写像 f に付随する、
A の部分集合族から B の部分集合族への写像なのです。
こういうものを「集合写像としての f」と、それに対して
もとの f を「点写像としての f」と言います。

集合写像と点写像を、同じ f で書くからややこしいですね。
f^-1( S ) = { a | f(a)∈S } は、集合写像のほうの f の
逆写像なのです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
逆像と逆写像を一緒に考えてしまっていたので参考になりました。

お礼日時：2009/06/23 12:22

No.5 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/06/21 20:19

逆写像 と 逆像 の違いを補足にどうぞ。

この回答へのお礼

わからなかったので、後の回答者さんのご解説を読みました。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2009/06/23 12:21

No.4 回答者： OurSQL 回答日時： 2009/06/21 09:57

#2 です。

「f ^(-1) は逆写像です」を「何かの勘違い」と書いた理由は、

f ^(-1) ( f (A1) ) = { a∈A | f (a) ∈ f (A1) }

であり、ここでは f ^(-1) が f の逆写像を意味しないからです。

f ^(-1) を f の逆写像の意味で使うこともありますが、この質問では「f を集合A から集合B への写像とし」と書かれているだけで、f が逆写像を持つことを保証する条件が何も与えられていません。

この回答への補足

f ^(-1)と書けば必ず逆写像を意味するものと思い込んでしまいました。私の書いた質問のところを教科書で確認してみたら、直前に逆写像に関して触れていたので、ここでは逆写像を意味しているようです。
すみません^^;

補足日時：2009/06/21 18:32

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/06/20 22:57

逆写像の方も、No.2 の例で、

f( A1 ) = { 0, 1 } より
f^-1( f( A1 ) ) = { -1, 0, 1 } ≠ A1 ですね。
集合写像ですからね。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/06/20 12:43

良い疑問です。

反例を考えて補足にどうぞ。