重力と時間

　重力が強い所では光は赤方偏移し、外からは時間がゆっくり進んでいるようにみえるらしいのですが、どうして重力が強い所では光は引き延ばされるのですか？
　また、なぜ光のその変化が時間と関係してくるのですか？

No.7 ベストアンサー 回答者： guiter 回答日時： 2001/03/21 01:58

このまま数式を使った説明でいいのか少し心配なのですが、、、

もし困るなら質問者の nom さん補足をお願いします。

＞Δτ2/Δτ1＝√(1-(v/c)^2)＜１
＞のところですが、これは　Δτ2＜Δτ1　ってことですよね？
＞これは、Ｐ２での時間の進みが早いって意味になるような気がするのですが、
の部分に関してですが、例えば v = 0.8 c のとき
　Δτ2＝ 0.6 Δτ1
のようになるので、点 P1 が１秒進んだとき(Δτ1＝１)に
点 P2 は 0.6 秒進む(Δτ2＝0.6)ことになります。

＞Δτ ＝Δｔ1＝Δｔ2√(1-(v/c)^2)
＞となり、Δｔ1/Δｔ2＜１、すなわち、Δｔ1＜Δｔ2、となるような気がするのですが・・・
下の私の説明は少し言葉不足でしたね。
いまは、点P1 と点 P2 の固有時を直接比較できないので
自由落下する箱を使って説明しました。
自分自身は箱とともに動いていると思ってください。
このとき、自分にとって箱の中の時計は一定のリズムで時を刻みつづけます。
そこで、ある時刻（自分のそばに点 P1 がある）に点 P1 をみると
相対速度が０なので
　Δτ1 ＝Δτ3
が成り立ちます。
次が注意が必要ですが、一定のリズムで時を刻む箱の中の時計を用いて点 P2 の時間経過を見るので、
箱の速度を０、点 P2 の速度を v として式を考えます。
（止まっている自分自身の前を点 P2 が通り過ぎていくと考えます。）
自由落下という言葉が箱を止めると考えにくかったですね。
このように考えると
　Δτ2 ＝Δτ3√(1-(v/c)^2)
が成り立ちます。
箱から点 P2 をみるとこの式が成り立つのに対し、点 P2 から箱を見ると
　Δτ3 ＝Δτ2√(1-(v/c)^2)
という式が成り立ちます。（添え字の２と３が入れ替わっています。）
互いに相手の時間がゆっくり進んでいるように見えるということです。
まさに、”相対性”理論ですね。

＞「光が曲がる」＝「屈折する」という論理で、屈折率が大きくなると考えたのですが・・・。
物質が１でない屈折率を持つのは光と物質の相互作用によるのと同様に
光と重力場の相互作用により（重力の作用している）真空が１でない屈折率を持つ。
というように考えることも可能だと思います。

＞重力場に近づく光は青方偏移になるのでしょうけど
そうなりますね。私の専門は宇宙物理ではないのでそれほど詳しいわけではないですが、
少なくとも辞典には blue shift（青方偏移）と言う単語は載っています。

＞重力ポテンシャルφ（ｒ）の場所では、固有時間は
＞　√（１＋２φ/ｃ＾２）
＞に比例するらしいです。
この式は少し近似が入ってますね。
まず、エネルギー保存則
　√( (mc^2)^2 + (pc)^2 ) ＋ mφ2 ＝　mc^2 ＋ mφ1　　（P1にいるとき v=0）
を考えます。
ここで v/c << 1 の近似を用いると Newton 近似になり
高校物理でも出てくる次のような形になります。
　(1/2)mv^2 + mφ2 ＝ mφ1
重力ポテンシャルの基準を点 P1 にとると（φ1＝０、φ2＝φ）
　(v/c)^2 ＝ －２φ/c^2
が得られます。これを前回の私の回答にある
　Δτ2/Δτ1＝√(1-(v/c)^2)
という式に代入することで
　Δτ2＝Δτ1√(1+2φ/c^2)
のように、重力ポテンシャルφの点(今の例ではP2)での固有時は
重力ポテンシャルの基準点(今の例では点P1)の固有時に対して
√(1+2φ/c^2) という比例係数を持つことがわかります。

No.8 回答者： ryumu 回答日時： 2001/03/21 15:05

guiterさん

＞自分自身は箱とともに動いていると思ってください。
なるほど！！座標系をとりちがってましたね、私。
物理では、座標系の取り方が重要なことはわかってるのですが、
自分がどの立場にいるか迷い込んで混乱してしまいました。
いや、久しぶりに綺麗な（＝勉強してない）教科書を読み返しましたよ＾＾；


＞光と重力場の相互作用により（重力の作用している）真空が１でない屈折率＞を持つ。というように考えることも可能だと思います。

私の教科書によると、やはり重力場で光速が遅くなるという考えで良いようです（屈折率は１以上）。どないでっしゃろ、sr-silviaさん？


＞　(v/c)^2 ＝ －２φ/c^2

へえ～以外と簡単に導けるのですね。勉強になりました＾＾。
しかし、面白いですね、相対論は。

でも、nomさんはよろしいのでしょうか？
なんか私が勉強させてもらってるのですが＾＾。

No.6 回答者： ryumu 回答日時： 2001/03/20 03:58

ふたたびryumuです。

だんだん混乱してきました＾＾；

guiterさんの
　Δτ2/Δτ1＝√(1-(v/c)^2)＜１
のところですが、これは　Δτ2＜Δτ1　ってことですよね？
これは、Ｐ２での時間の進みが早いって意味になるような気がするのですが、私の感覚がおかしいのでしょうかね？私の座標系の取り方が間違ってますかね？
guiterさんの初期条件を用いて、Ｐ１のときの時間間隔をΔｔ１などと書くと、Δτを固有時として、

Δτ ＝Δｔ１＝Δｔ2√(1-(v/c)^2)

となり、Δｔ１/Δｔ２＜１、すなわち、Δｔ１＜Δｔ２、となるような気がするのですが・・・ご教授の程よろしくお願いします。

sr-silviaさんへの回答（？）ですが、
私は単純に、「光が曲がる」＝「屈折する」という論理で、屈折率が大きくなると考えたのですが・・・。でも実際は、空間が曲がっているために光が曲がるように見えるだけなんですよね。そんなことを考えてると、かなり複雑な問題であることを実感します。

>ちなみにそれ（遅くなる）だと紫方偏移しますよね？

私もよく分かってないのですが、guiterさんの説明だと、重力場から離れる向きに進行する光が赤方偏移を起こすのなら、重力場に近づく光は青方偏移になるのでしょうけど・・・・どっちなんだろう？？


ちなみに、理化学事典によると、重力ポテンシャルφ（ｒ）の場所では、固有時間は

　　√（１＋２φ/ｃ＾２）

に比例するらしいです。で、φは-1/ｒに比例するので、ｒが大きい、すなわち重力場から離れてるところのほうが、ｒが小さい、すなわち近いところより固有時間が長いことになります。振動数は時間と反比例することから、重力場から離れる光は、固有時間が延びる、すなわち振動数が少なくなる、すなわち波長が延びる（赤方偏移する）ことになります。

・・・なんか、すっきりせんですな。
sr-silviaさんのいう、”元に戻る”ってのも、そんな気がしますね。
でも、光源が重力場の強い所だったら、変化ははっきり観測できるはずです。あと、重力場を横切った光も、進行方向の変化を観測することでみれるのではないでしょうかね？

・・・だれかすっきりさせて下さい＾＾；

No.5 回答者： guiter 回答日時： 2001/03/18 11:44

うまく言葉で説明できそうにないので

数式を少し使って大雑把な証明をします。

点 P1 から点 P2 に向けて
（内部では重力場の変化を無視できるくらい）小さな箱を自由落下させます。
一般相対論のような重力場中では光速度も c とは限らないので、
局所 Lorentz 系（そこでは特殊相対論が成立）を考えています。
まず、最初に箱が点 P1 の近くにいるときは箱の中の系は
P1 における局所 Lorentz 系となっています。
ここで、簡単のために箱の初速を０とすれば
P1 の時計がΔτ1 進むあいだに箱の中の時計がΔτ3 進んだとすると
　　Δτ1 ＝Δτ3
となります。
一方、箱が P2 のそばを速度 v で通り過ぎるときには箱の中の系は
P2 における局所 Lorentz 系となっています。
したがって、特殊相対論より
　　Δτ2 ＝Δτ3√(1-(v/c)^2)
の関係が成り立ちます。
これらから、
　　Δτ2/Δτ1＝√(1-(v/c)^2)＜１
となり、重力ポテンシャルの低い点（ P2 ）ほど固有時の進み方が遅いことがわかります。

次に、P2 から P1 に向けて光が連続的に放射されているとします。
このとき、自由落下している箱の中の系では特殊相対論が成り立つと考えて良いので
常に光速度は c に見えます。
ここで、箱の中の時間がΔτ3 進む間に P2 から n 個の波が発射されるとします。
局所系から見ると波は定常的に伝播しているので点 P1 に達する波の数も
Δτ3 秒の間に n 個となります。
したがって、箱が P1 の付近にいるときを考えると
　　ν1＝ n/Δτ1 ＝ n/Δτ3
また、P2 付近も同様にして
　　ν2＝ n/Δτ2 ＝ n/{Δτ3√(1-(v/c)^2)}
となるので、これらから
　　ν1/ν2＝√(1-(v/c)^2)＜１
となり、重力ポテンシャルの低いところ(P2)における振動数ν2に比べて
重力ポテンシャルの高いところ(P1)における振動数ν1のほうが小さくなる、
つまり赤く見えることがわかります。

特殊相対論は認めるものとしました。
ながながと書いたわりにはわかりにくいかもしれません。

No.4 回答者： sr-silvia 回答日時： 2001/03/17 18:45

ryumuさん、指摘頂いて感謝します。

＞重力により光が曲げられる現象と、時間の遅れについては実験的に
＞証明はされています。
そうでしたか！ありがとうございます。勉強になります。
＞光速不変の原理
忘れてました。そうです、光速不変です。Ｃは一定です。というか、時間を基にして考える以上、光速が変わると時間（の経過速度）が変わってしまうので。
下記の僕の回答を、「光が加速される」というのを、「時間が遅くなる」とするといいでしょうか？時間の基（単位？）は光速ですから。
光を基準としたら時間が遅くなる（ゆっくり進む）って事ですね。
時間がゆっくりに（波が引き伸ばされる）なって光速不変なら結果は同じく赤方偏移しますよね。
でも、重力場にいる”人”（もしくは”カメラ”でも同様）からすれば、その人の感じる時間も遅いわけですよね。すると光波が目に入って脳で処理する（って言っていいのかな？カメラで言うと、カメラのサンプリング周波数も変わる）と、同じ色に見えそう（赤方偏移しなさそう）ですが…
外から見ても光は（時間の速度と共に）屈折（加減速）して届くのでやはり同じ色なのでは？

ryumuさんの話ですが、
＞重力場で光が曲がる、すなわち引き延ばされる。
＞重力場では屈折率が大きいことになるので、屈折の法則により、
＞光速は”遅く”なることになります
とありますが、重力場で光が引き伸ばされるってのは理解できます。
正しい言い方でないかもしれませんが、加速するって感覚ですよね？
すると屈折率というのは小さくなるんじゃないでしょうか？
そしてやはり光速は速く（正しくは時間が遅くなる）なるのでは？（納得できなければもっと遠慮なく突っかかってください、その方がスッキリするし、嬉しいです）
ちなみにそれ（遅くなる）だと紫方偏移しますよね？

そしてやはり思うのですが、重力場で光速が遅くなる（時間がゆっくり進む）のはわかりますが、（↓前回の回答より）
＞外（相対的に重力の弱いところ）から見ると時間がゆっくり進んでいる様に
＞見えるという理屈はわかりません。
＞時間が違うのはわかりますが重力変化と共に光速・時間共変化して伝播し、
＞結果観測点でも単位時間当たりの振動数は変わらず同じ様に見えそうですがね？
つまり、重力場で「（＊静止座標系の時間感覚からすれば）引き伸ばされた」光が、外（相対的に重力の弱いところ）へ伝播するときに、
再びその光は「（＊…）圧縮される（元に戻る）」と思うのです。時間（の経過速度）の変化と共に。

ryumuさんの意見をまた伺いたいです。
専門家の方、見てらっしゃいましたらどうぞよろしくお願いします。

No.3 回答者： ryumu 回答日時： 2001/03/17 14:59

なかなか専門家が現れませんね＾＾。

楽しみにしてたのですが・・・
私も専門ではないので、大学でちらっと学んだことと（でも一般相対論までは学ばなかったですが・・）、調べたことから考察して述べます。
ちなみに、重力により光が曲げられる現象と、時間の遅れについては実験的に証明はされています。


まず時間ですが、速さがｖで運動する座標系での時間間隔Δｔは、静止座標系での時間間隔をΔτ、光速をｃとすると

　Δ ｔ＝Δτ・（１－（ｖ／ｃ）＾２）＾（-1/2）　　・・・・（＊）

となることが知られています。
すなわち運動している座標系では、静止座標系に比べて時間が遅くなることになります。これは光速不変の原理から導くことが出来ます。

一方、”重力の効果は、加速度の効果と同等である”という、一般相対性理論の等価原理を考慮すると、重力により光が曲げられることが導かれます。
これは実は、簡単にイメージできます。

エレベータに乗って、最上階にいるとしましょう。
エレベータ内の壁には、真横の壁を照らすライトがあるとします。
今、エレベータのワイヤーが切れて、落下してしまうとしましょう。
と、同時にライトのスイッチが入れられたとします。
自由落下しているエレベータは、無重力状態なので、慣性系と見なすこと出来ます。
そのエレベーターの中（慣性系の中）では、光は等速直線運動で真横に進み、壁を照らします。

ところで、”地上から”そのエレベータ内の”光”を観測すると、エレベータとともに光の軌跡は動く（この場合、地球に引き寄せられる）ことになります。つまりこれは、重力場で光が曲がること、すなわち引き延ばされることを表しています。
これはまた、重力場では屈折率が大きいことになるので、屈折の法則により、光速は”遅く”なることになります（sr-silviaさんすみません＾＾；）。

このことは、重力場においてｃの値が小さくなることを示しているので、式（＊）からΔｔが大きくなる、すなわち時間がゆっくり進むことになります。

・・・こんな説明でええのかいな・・・？！

No.2 回答者： sr-silvia 回答日時： 2001/03/17 00:54

＞なぜ光のその変化が時間と関係してくるのですか？

というのは光の色でしょうか？それとも光の速度でしょうか？
以下の説明で分かりますか？

相対性理論の専門家ではありませんが、分かる限りで推測を含めて説明すると、

・重力というのは光を加速させる（曲げる）そうです。（あくまでも理論で、実証されてないので伝聞形）
だから超強大重力星（圏？）であるとされるブラックホールは”ブラック”なのです（光が出ないから）。
（ブラックホールの重力レンズなんてのも聞いたことありますか？）
よって重力の強いところでは、光は加速され、速度は速くなります。
すると伝播速度と周波数と波長の関係（高校物理より）から光の波長は長くなり、それは可視光中の最も長い波長を持つ赤に変移します。紫外線→紫、赤→赤外線。

＞なぜ光のその変化が時間と関係してくるのですか？
についてですが、
・時間（の経過する早さ）というのは、「光の速度」が基になっているそうです。
これが相対性理論の基本と言っていいかと思います。
これを詳しく知りたいのならば、書籍を探す方が、正確で多くの知識が得られると思います。（説明できなくてすみません）
と言っても字の小さい難しい本（かなり興味があるのならばこういうのも楽しかったりしますが）ではなく、相対性理論の理解を目的としたものならば、できるだけやさしく、読みやすいもので良いと思います。基本ですし。
「マンガでわかる！相対性理論」とか。あるかな？（笑）

重力が強いところは、外（相対的に重力の弱いところ）から見ると時間がゆっくり進んでいる様に見えるという理屈は僕もわかりません。
確かな情報でしょうか？
時間が違うのはわかりますが重力変化と共に光速・時間共変化して伝播し、結果観測点でも単位時間当たりの振動数は変わらず同じ様に見えそうですがね？

No.1 回答者： noname#11476 回答日時： 2001/03/15 09:57

一般相対性理論の難しい話は得意な方々にお任せするとして、簡単に考えると、

重力の強いところでは「時間がゆっくり進む」を受け入れます。

光は、波です。だから、ある一定の早さで振動しています。
たとえば緑の光は、振動が遅くなると「赤」に、早くなると「青」にシフトします。
光の色は振動数で決まっているのですね。

だから時間がゆっくり進むと言うことは、振動がゆっくりになるから赤い方にシフトするということになります。

なぜ「時間がゆっくりと進むか」については、残寝ながら私の力量では簡単に説明できそうにないので、他の方のご説明を待ちましょう。