ガウス積分

∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dxの答えが、(α＾３*√π)/２ となるのですが、1/2が出てきません。
部分積分をしてガウスの法則を用いて、以下のように解きました。
∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫α^2*exp(-(x^2)/α＾2)dx
ここで、第一項はゼロになり、第二項にガウスの積分を使いました。
＝α＾2*√（α＾2*π）
＝α＾3*√π

どこが間違っているかわかる方いたら教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/10/16 17:03

#2です。

>部分積分の二項目は∫f'(x)g(x)dxで、f'(x)＝2xとなるので、
>∫2x*(-(α^2)/2x)exp(-(x^2)/α＾2)dx
>となり、全体で2xが消えてしまうのですが、なぜでしょうか。
>1/2はどうやったら残るのでしょうか？
適用の仕方を勘違いしてませんか？
f(x)=xなので f'(x)=1となります。

>∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
=(-α^2/2)∫[-∞→∞]x*exp(-(x^2)/α＾2)(-2x/α＾2)dx
=(-α^2/2)∫[-∞→∞]x*{exp(-(x^2)/α＾2)}'dx

f(x)=x,
g(x)=exp(-(x^2)/α＾2)(-2x/α＾2)={exp(-(x^2)/α＾2)}'
とおくとf'(x)=1

=(-α^2/2)∫[-∞→∞]f(x)g(x)dx
=(-α^2/2)[f(x)exp(-(x^2)/α＾2)]
-(-α^2/2)∫f'(x)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
=(-α^2/2)[x*exp(-(x^2)/α＾2)]
+(α^2/2)∫1*exp(-(x^2)/α＾2)dx
となり、第二項の係数(α^2/2)の中に(1/2)がついています。

お分かりになりませんか？

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません！やっと理解できました！細かくわかりやすく説明してくださって本当にありがとうございます。適用の仕方が間違っていたのですね・・・。本当にありがとうございました！

お礼日時：2009/11/18 14:06

No.3 回答者： noname#108210 回答日時： 2009/10/15 18:05

気になりますの回答します．

＞部分積分をしてガウスの法則を用いて、以下のように解きました。
＞∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
＞＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫α^2*exp(-(x^2)/α＾2)dx

部分積分に問題があります．
∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx
で f(x)g(x)=-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x で良いでしょうか？

結果を求めるのであれば
I＝∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
(x/α)=t とおき
I＝α^3∫[-∞→∞](t＾2)*exp(-(t^2))dx
さらに，t^2=s とし
I＝α^3∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds
ここで，ガウス積分を使って　
∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds＝Γ(3/2)＝(√π)/2
としてはいかがでしょうか．

この回答への補足

実際計算をしてみたのですが、
＞さらに，t^2=s とし
　I＝α^3∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds
　ここで，ガウス積分を使って　
　∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds＝Γ(3/2)＝(√π)/2
とあるのですが、(s＾(1/2))が入っているのに、ガウス積分はどのようにするのでしょうか？
ガウス積分の公式はf(u)=∫[-∞→∞]exp(-ax^2）dx＝√π/aしか知らないのですが、それ以外の公式を使うのですか？
また、Γ(3/2)とはガンマ関数ですか？ガンマ関数を知らないのですが、どのように計算するのですか？質問が多くてすみません。。

補足日時：2009/10/16 15:19

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/10/14 14:45

#1さんも言われていますが、

>＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫α^2*exp(-(x^2)/α＾2)dx
＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫(α^2/2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
のところでケアレスミスをしていますね。

従って、以降の２つの式は(1/2)倍になります。

この回答への補足

部分積分の二項目は∫f'(x)g(x)dxで、f'(x)＝2xとなるので、
∫2x*(-(α^2)/2x)exp(-(x^2)/α＾2)dx
となり、全体で2xが消えてしまうのですが、なぜでしょうか。1/2はどうやったら残るのでしょうか？

補足日時：2009/10/16 15:18

No.1 回答者： noname#96417 回答日時： 2009/10/14 13:12

部分積分した第２項で 1/2 が落ちているのでは？

この回答への補足

部分積分の二項目は∫f'(x)g(x)dxで、f'(x)＝2xとなるので、
∫2x*(-(α^2)/2x)exp(-(x^2)/α＾2)dx
となり、全体で2xが消えてしまうのですが、なぜでしょうか。1/2はどうやったら残るのでしょうか？

補足日時：2009/10/16 15:02