No.5ベストアンサー
- 回答日時:
b:c=√2:(1+√3)の様に比が出てくる場合は、b=2,c=1+√3ではありませんので、注意して下さい。
数学全般において、比がでてくる場合、必ずb=2k,c=(1+√3)k(kは正の整数)のように‘k’とか‘n’などの文字を使って問題を解くことを必ず暗記して下さい。
問題ではa,b,cとなっていますが説明上a=BC,b=AC,c=ABとして説明します。
問題の答えは・・・
AC=2k,AB=(1+√3)k(kは正の整数)とおくと、BC=xkとおいて
余弦定理より
(xk)^2=(√2k)^2+((1+√3)k)^2-2・√2k・(1+√3)kcos45をとくと
(計算の途中は省略します)
X=2よってBC=2kとなる。
又、正弦定理より、
2K/sin45=2√3より(外接円の半径の長さR=√3)
k=√3/√2=√6/2となるので、BC=2k,AC=2k,AB=(1+√3)kより
BC=a=√6、AC=b=√3、AB=c=(1+√3)・√6/2=(√6+3√2)2
よって、a=√6、b=√3、c=(√6+3√2)2となる。(解)
又、∠B、∠Cについて、
正弦定理より、(なお文字を戻してa,b,cを使います)
b/sinB=2√3なので、√3/sinB=2√3
よって、sinB=1/2より、∠B=30°なので、
∠C=180°-∠A-∠Bより、∠C=45°
以上よりB=30°C=105°(解)
終わり
となります。
基本的で比較的良い問題だと思うんで、問題ごと覚えちゃって下さい。
No.6
- 回答日時:
すいません、さきほどの回答にタイプミスがあったので、追記します。
c=(1+√3)・√6/2=(√6+3√2)2はc=(1+√3)・√6/2=(√6+3√2)/2です。
∠C=45°は∠C=105°です。
No.4
- 回答日時:
幾何的にやってみましょう。
△ABCで
∠A=45°、b:c=√2:(1+√3)
√2とか√3が出てきていますから45°の直角三角形、30°、60°の直角三角形が関係ありそうです。
CからABに垂線CDを引きます。
AC=√2とすると
AD=DC=1です。
AB=1+√3ですからDB=√3になります。
△BCDにおいて
∠B=30°、∠BDC=60°、BC=2
が分かります。
余弦定理も正弦定理も元は幾何的なものです。
45°、30°、60°のような角度の場合はいつでも幾何的に出来ます。余弦定理、正弦定理でしか出来ないのはもっと中途半端な角度の場合です。
No.3
- 回答日時:
b:c=√2:(1+√3)の比で、「1」の長さをkとします。
すると、b=√2k,c=(1+√3)kをあらわせます。
※ここ以降、文字の後ろにある2は「二乗」として見てください。
ここで、余弦定理a2=b2+c2-2bc×cosAにa,b,c,Aをそれぞれ代入して、kの値を求めます。すると、k=√6/2となります。
よって、b=√3,c=(√6+3√2)/2となります。
そして、正弦定理より、sinB=1/2
よって、B=30°となります。
三角形の内角の和は180°なので、C=180°-45°-30°=105°となります。
ちなみに、cosB=cos30°=√3/2
cosCは余弦定理より、cosC=(√2-√6)/4と求められます。
No.2
- 回答日時:
aは正弦定理で√6と出ますよね。
後はまあ余弦定理を使えばいいんですが、bとcは比なので、bを√2x、cを(1+√3)xと置きます。
これを余弦定理で計算(a^2=b^2+c^2-2bc*cosA)すると、x=√6/2となり、これをbとcに代入すれば、b=√3、c=(3√2+√6)/2となります。
最後にこのb=√3を用いて正弦定理を用いれば、∠B=30°となり、同時に∠C=105°がわかります。
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