環状ガウス鎖の＜Ｓ＾２＞（回転二乗半径）が自由連結鎖の＜Ｓ＾２＞の半分

環状ガウス鎖の＜Ｓ＾２＞（回転二乗半径）が自由連結鎖の＜Ｓ＾２＞の半分になる理由を説明せよ。

という問題が出ました。

イメージできそうでできません↓↓


よろしくお願いします。

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2010/03/31 12:41

＜環状ガウス鎖の＜Ｓ＾２＞（回転二乗半径）が自由連結鎖の

＜Ｓ＾２＞「より小さく成る」理由を説明せよ。
上の様な質問なら、両端が結ばれているために鎖がコンパクトになる
から、で良いのでしょうが、「半分になる」理由と聞かれると
「計算結果がそうなるから」としか答えようが有りません。

自由連結鎖の<S^2>の計算と環状ガウス鎖<Sr^2>の導出をして
みたので、<Sr^2>の導出の前提からヒントを得てください。

分子鎖がｎ個のセグメントBiよりなり、セグメントBiと重心を結ぶ
ベクトルをSi-1とするとΣSi=0。 (和はi = 0～n)
平均回転半径は〈S^2〉= Σ〈Si^2〉/(n+1)。 (和はi = 0～n)　　(1)

セグメントBiとBjを結ぶベクトルをRijとすると、
Rij^2 = Si^2 + Sj^2 - 2Si*Sj　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

ΣΣRij^2 =ΣΣ(Si^2 + Sj^2 -2Si*Sj) (和はそれぞれi,j= 0～n)
= 2(n+1)ΣSi^2 - 2(ΣSi) (ΣSj)　　　　　　　　　　　　　　(3)

ΣSi=0 なので、(3)式の平均は
ΣΣ〈Rij^2〉 = 2(n+1)Σ〈Si^2 〉　　　　　　　　　　　　　(4)
(1)と(4)より、
〈S^2〉=ΣΣ〈Rij^2〉/(2(n+1)^2)　(和はそれぞれi,j= 0～n)　(5)

i=j の時はRij=0 となるので、ΣΣは2ΣΣ (和はi=0～n, j=0～i-1)
で置き換えられる。
自由な鎖（ガウス鎖）では平均2乗両端間距離〈r^2〉= nb^2 である
から、〈Rij^2〉= |i-j|b^2 と置くと
〈S^2〉= 2ΣΣ（i-j）b^2/（2(n+1)^2）　　　　　　(6) 　　　
(和はi,j=0～nからi=0～n, j=0～i-1に変更)

まずj、次いでiの和を取り級数を計算し、n>>1 として、1,1/n…の
オーダの項を無視すると
〈S^2〉= nb^2/6　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
となり、両端が自由な鎖の 1/6 となっている。

環状鎖に付いての概算のために、セグメントBiの数を2nとし、
鎖はnを境として対称と考え i の和を0～n で取り、それを2倍する。
更に、Rijはガウス鎖近似で良いとすれば、
環状鎖の平均回転半径〈Sr^2〉は
〈Sr^2〉=4ΣΣ（i-j）b^2/（2(2n+1)^2）　(和はi=0～n, j=0～i-1)

これを両端が自由な鎖の場合と同様に計算し、
n>>1 として、1,1/n…のオーダの項をnに対し無視すると
〈Sr^2〉= nb^2/12　

つまり〈Sr^2〉は 〈S^2〉の半分となる。