この積分の問題ができません

この積分の問題ができません。誰かやり方を教えてください。
次の関数を積分せよ
log(X＾2　+１）
sin(logX)

No.1 回答者： keronyan 回答日時： 2001/04/02 13:01

-2x　＋　2　arctan(x) + x log(1+x^2)

-1/2 x cos(log(x)) +1/2 x sin(log(x))

この回答への補足

ここにいたるまでの流れも教えてください。

補足日時：2001/04/03 05:10

No.2 ベストアンサー 回答者： sumou111 回答日時： 2001/04/03 10:20

(1)log(X＾2　+1) dX

= X’log(X＾2　+1)dX
=Xlog(X＾2　+1)-∫X［log(X＾2　+1)］’dX
=Xlog(X＾2　+1)-2∫(X＾2　/X＾2　+1)dX
=Xlog(X＾2　+1)-2∫(X＾2　+1-1/X＾2　+1)dX
=Xlog(X＾2　+1)-2∫(1-1/X＾2　+1)dX
=Xlog(X＾2　+1)-2X+2∫(1/X＾2　+1)dx・・・ⅰ
ここでX=tanAとするとdX/dA=1/cos＾2　AよりdX=1/cos＾2　A・dAなので、これをⅰに代入すると
Xlog(X＾2　+1)-2X+2∫(1/tanA+1)・1/cos＾2　A dA
= Xlog(X＾2　+1)-2X+2∫(cos＾2　A/cos＾2　A)dA
= Xlog(X＾2　+1)-2X+2A
X=tanAとおいたので、Aについて解くと、A=arctanX (arctanX=逆三角関数）
以上より∫log(X＾2　+1)= Xlog(X＾2　+1)-2X+2arctanX+C (Cは積分定数)
部分積分ですね。見にくくてすいません。

書くのにめちゃくちゃ手間がかかるので(1)だけで勘弁して下さい・・・

No.3 回答者： seian 回答日時： 2001/04/04 12:56

積分なんて?年ぶりなので自身はないのですが・・・。

私のリハビリを兼ねて(２)の方を。

これもやっぱり部分積分で、係数:1 が ｘ を微分したものだとみなせればおしまいという感じです。(ただし、計算自体はあまり自信がないのですが・・・。)

∫sin(log(x))dx = x・sin(log(x)) - ∫x・{sin(log(x))}'dx
= x・sin(log(x)) - ∫x・1/x・cos(log(x))dx
= x・sin(log(x)) - ∫cos(log(x))dx
= x・sin(log(x)) - { x・cos(log(x)) - ∫x・1/x・(-1)・sin(log(x))dx }
= x・sin(log(x)) - { x・cos(log(x)) + ∫sin(log(x))dx }

これを整理すると

∫sin(log(x))dx = x・sin(log(x)) - x・cos(log(x)) - ∫sin(log(x))dx

よって
∫sin(log(x))dx = x/2・{ sin(log(x)) - cos(log(x)) }

こんなのであってますかね?