No.7ベストアンサー
- 回答日時:
問題を整理すると
・A = (a_ij) は全ての i, j に対して 0 < a_ij < 1 かつ全ての i に対して Σ_j a_ij = 1
・x = (x_i) は x = ax かつ Σ_i x_i = 1
という仮定で
・全ての i に対して x_i = 1/n
を示す, ということでいいでしょうか?
これでよければ, 背理法でほぼ一瞬だと思います.
対称性から x_1 = max_j x_j > 1/n を仮定して矛盾を導けばいい. x_1 = Σ_j a_1j x_j と Σ_j a_1j = 1 を見比べれば簡単.
#2 でも指摘されているように, 実は「縦 1列足すと 1」は関係なかったりする.
No.6
- 回答日時:
「回答番号:No.1」への「お礼」と「補足」を読んで、「A が単位行列なら反例が存在する」と書くためにログインしようとしたら、「回答番号:No.3」への「お礼」が追加されていたので、予定変更となりました。
状況を整理すると、例えば n = 3 の場合、行列 A = ( a_ij ) の例として、
a_11 = 1/2, a_12 = 1/3, a_13 = 1/6
a_21 = 1/6, a_22 = 1/2, a_23 = 1/3
a_31 = 1/3, a_32 = 1/6, a_33 = 1/2
なら、条件を満たしていますね?
この場合、
x = t [ x_1, x_2, x_3 ] ( t は、転置を表します)
と置いたとき、確かに、
x_1 = x_2 = x_3 = 1/3
以外では、等式
x = A x
は成り立たないような気がします。
すぐには証明できないかもしれず、もしかしたら週末になるかもしれませんが、回答したいと思います。
ただ、私よりもはるかに有能な回答者二名がすでに参加していますから、案外あっさりと解決するかもしれません。
私としても、むしろその方が嬉しいかも ^^;
No.4
- 回答日時:
それとも、ひょっとしたら、「行列 A の、任意の行の成分 n 個と任意の列の成分 n 個、あわせて 2n 個の成分の和が 1 になる」ということでしょうか。
その場合、「x = A x を満たす x の成分がすべて 1/n になる」と仮定すると、行列 A の任意の行の成分 n 個の和は 1 になるので、行列 A の任意の列の成分 n 個の和は 0 になるはず。
任意の行の成分 n 個の和が 1 になることより、A のすべての成分の和 = n
また、
任意の列の成分 n 個の和が 0 になることより、A のすべての成分の和 = 0
明らかな矛盾です。
No.1
- 回答日時:
どのように証明するのか見当もつかないのなら、反例を探してみてはどうでしょうか。
この回答へのお礼
お礼日時:2010/11/15 16:47
問題として不適切なところがありました申し訳ありません
以下訂正です
xはn次元ベクトルでx≠0 ×
xはn次元ベクトルでxの要素x_iの総和Σx_i = 1 ○
返事が遅れてしまい見てる人もいないかもしれませんが
もしよろしければお答えいただけると嬉しいです
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