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ベルヌーイの定理を穴の箇所と水面に適用します。
水の密度を ρ、穴から出る水の速さを v、重力加速度を g、大気圧を p0、水面の高さを H、時間に関する微分を添え字「'」で表すと、(1/2) ρ v^2 + ρ g・0 + p0 = (1/2) ρ (H')^2 + ρ g H + p0。
これより
v^2 = (H')^2 + 2 g H。 (1)
連続の式は
ρ s v = ρ a (-H')。
これより
v = (a/s)(-H')。 (2)
s << a なので、(2)式より -H' << v。よって、(1)式で (H')^2 の項は v^2 の項に比べて無視できて、
v = (2 g H)^(1/2)。 (3)
(3)式を(2)式へ代入して、
H' = -(s/a)(2 g H)^(1/2)。
これから
dH / H^(1/2) = -(s/a)(2 g)^(1/2) dt。
H = h → 0、t = 0 → T で積分すると
2h^(1/2) = (s/a)(2 g)^(1/2) T。
よって、
T = (a/s)(2 h/g)^(1/2)。
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