No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(y-x)dy/dx=y
u=y-x
両辺を x 微分すると,
du/dx=dy/dx-1 故に,dy/dx=du/dx +1
これらを (y-x)dy/dx=y に入れると
u(du/dx +1)=u+x
u*du/dx +u=u+x
u*du/dx =x
この微分方程式を解くと,積分定数を c として,
∫u du =∫x dx + c
(1/2)u^2=(1/2)x^2 + c
この式に を入れれば,
(1/2)(y-x)^2=(1/2)x^2 + c
(1/2)(y^2-2xy+x^2)=(1/2)x^2 + c
(1/2)x^2 が消えるので,
(1/2)(y^2-2xy)= c
(1/2)y(y-2x)= c
y(y-2x)= 2c
積分定数 2c を C と書くと
y(y-2x)=C
となり,y(y-2x)=C が微分方程式 (y-x)dy/dx=y の一般解です.
<検算>
y(y-2x)=C の両辺を微分すると,
y'(y-2x)+y(y-2x)'=0
y'(y-2x)+y(y'-2)=0
yy'-2xy'+yy'-2y=0
2yy'-2xy'-2y=0
yy'-xy'-y=0
(y-x)y'-y=0
(y-x)y'=y
となりますから,一般解 y(y-2x)=C 正しいです..
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