二次関数の最高値・最大値

a＞１ ｘが－１≦ｘ≦1の範囲にあるときy=-4x^2+4(a-1)x-a^2の最大値と最小値を求める問題の解法と解をお願いします

最大値と最小値の差が12になるときのaの値もお願いします

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/01 00:43

この質問文から、y が x の一変数関数で、a は定数で、

最大値と最小値とは x に関する最大最小のこと…と
受け取ることができるのは、問題文を読まず、題意を理解しようとせず、
似たような類題を思い出して、何となく答案を書いている者だけだ。
数学として普通に考えれば、A No.3, 4 のようになる。
誰も彼もが受験ゴロだというわけではない。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/02/28 16:02

この程度の教科書問題も、まともに解けない情けない回答書がここにはいるんだ。

。。。。。ｗ


簡単のために、b＝a-1 とすると、 b＞0　‥‥(1)
y＝f(x)＝-4x＾2+4bx-(b＋1)＾2＝平方完成して＝-4(x-b/2)＾2-(2b+1)
これは、上に凸の2次関数で、軸がx=b/2 であるから、変域：-1≦ｘ≦1　で最大値と最小値を考える事になる。
(1)　b/2≧1の時、最大値＝Ｍ＝f(1)＝2b-b＾2-5　　最小値＝Ｎ＝f(-1)＝-6b-b＾2-5
(2)　0＜b/2≦1　の時、最大値＝Ｍ＝f(b/2)＝-2b-1　　最小値＝Ｎ＝f(-1)＝-6b-b＾2-5

b＞0だから、b/2＜0にはならないから、軸が負の時は考える必要はない。

以上から
(1)　b/2≧1の時、最大値-最小値＝12　より　b＝3/2　b/2≧1　を満たさないから不適。
(2)　0＜b/2≦1　の時、最大値-最小値＝12　より　b＾2＋4b-8＝0　から、0＜b/2≦1　を満たすものは　b＝2(√3-1)　つまり、a＝2√3-1　。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/27 22:43

y を a について平方完成すると y = -(a - 2x)^2 - 4x だから、

1/2 ＜ x ≦ 1 のとき y ≦ -4x　…[1]
-1 ≦ x ≦ 1/2 のとき y ＜ -(1 - 2x)^2 - 4x = -4x^2 - 1　…[2]
であり、
[1] の範囲で y ＜ -4(1/2) = -2
[2] の範囲で y ＜ -1
となる。よって、
y には上限 -2 (x = 1/2, a → 1 のとき) は存在するが、
最大値も存在しない。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/27 22:25

最大値はともかく、最小値は存在しない。

x の値に関わらず、a を非常に大きい値にとれば、
y は幾らでも小さくなる。
y を a について平方完成してみれば分るよ。

No.2 回答者： KEIS050162 回答日時： 2011/02/27 21:30

＃１さんの解説に乗っからせていただきます。

＃１さんのアドバイス通りにまずは平方完成して、最大値の座標を求めます。
最大値のｘ、ｙ座標がａの式で出るはずです。（放物線の頂点）

ここで、ａ＞１の条件から、ｙが最大値の時のｘの範囲が決まるはずです。
この条件と、－１≦ｘ≦１　条件から、放物線の頂点の位置がどの範囲になるかが分かります。（－１よりなのか、１よりなのか）
放物線は、左右対称なので、頂点のｘ座標から遠い側が最小値となり、これもａの式で得られます。

最大最小の差が１２となる時のａは、上で求めた、頂点のｙ座標と、最小値のｙ座標の差をaの式で表し、このａの方程式を解けば出るはずです。（この問題の例では、aの式は、すべて一次式になるはず）

ご参考に。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2011/02/27 21:05

問題の式は放物線ですよね。

これの平方を完成します。つまり y=-4(x-α)^2 +β　の形に変形するのです。そうすると最大値、最小値の候補は y(-1), y(1),βになりますから、その３つを較べればいいのです。但し、αが１と－１の間にないときはβは資格なしですから除外しなければなりません。差が１２になる問題は最大値、最小値が求まればその差をとればいいですよね。

また、この放物線は上に凸ですから、βが最小値になることはあり得ないですよね。