三角関数が含まれた、線形常微分方程式の解法

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質問者：wakatakasaikyou
質問日時：2011/07/06 03:04
回答数：3件

以下の線形常微分方程式を特殊解を用いない方法で解こうとしたところ解けなかったので、
どなたか解いてください。お願いします。

d^2x/dt^2+dx/dt=sint(t-1)(t+1)

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： hrsmmhr
回答日時：2011/07/06 17:36

∫(t^2-1)sintdt=-cost(t^2-1)+∫2tcostdt

=-cost(t^2-1)+2tsint-2∫sintdt
=-cost(t^2-1)+2tsint+2cost
=cost(3-t^2)+2tsint+C1

dx/dt+x=cost(3-t^2)+2tsint+C1
e^tをかけると
e^tdx/dt+xe^t=e^t{cost(3-t^2)+2tsint+C1}
∫e^tcostdt=e^tcost+∫e^tsintdt=e^t(cost+sint)-∫e^tcostdt
よって∫e^tcost=e^t/2(cost+sint)+C2
∫e^tsintdt=e^tsint-∫e^tcostdt=e^t(-cost+sint)-∫e^tsintdt
よって∫e^tsint=e^t/2(-cost+sint)+C3

∫te^tsint=te^tsint-∫(sint+tcost)e^tdt=te^tsint-te^tcost-∫te^tsint+∫e^t(cost-sint)dt
よって∫te^tsint=1/2{te^t(-cost+sint)+e^tcost}+C4
∫te^tcost=te^tcost-∫(cost-tsint)e^tdt=te^tcost+te^tsint-∫te^tcost-∫e^t(cost-sint)dt
よって∫te^tsint=1/2{te^t(cost+sint)-e^tcost}+C5
∫t^2e^tcostdt=t^2e^tcost-∫e^t(2tcost-t^2sint)dt
=t^2e^tcost-2∫te^tcostdt+t^2e^tsint-∫e^t(2tsint+t^2cost)dt
よって∫t^2e^tcostdt=1/2{t^2e^t(cost+sint)-2∫te^t(cost+sint)dt}
=1/2{t^2e^t(cost+sint)-te^tsint}+C6

xe^t=3e^t/2(cost+sint)-1/2{t^2e^t(cost+sint)-te^tsint}+{te^t(-cost+sint)+e^tcost}+e^tC1+C6
x=3/2(cost+sint)-1/2{t^2(cost+sint)-tsint}+{t(-cost+sint)+cost}+C1}+e^(-t)C6
=1/2(3-t^2)(cost+sint)+t(-cost+1/2sint)+cost+C1+e^(-t)C6

検算してません。疲れました。