電気磁気学の問題です。

Question

図のように、x-z方向に無限に広く厚さが無視できる2枚の導体板が距離2d（ｍ）をあけて平行におかれている。z軸正の向きに、単位長さあたりの電流密度J(m/A)の一様な定常電流を各導体板にながした。このとき次の各問に答えなさい。問１　各領域(i）ydにおける磁束密度ベクトルBをそれぞれ成分で示しなさい。問２　ベクトルポテンシャルベクトルAは電流と同じ方向であるとして、各領域(i）ydにおけるベクトルポテンシャルベクトルAをそれぞれ成分で示しなさい。ただし、y=0の平面におけるベクトルポテンシャルをベクトルA＝(0,0,A₀)（A₀は任意の定数）としなさい。大学院入試、電磁磁気学の問題です。問1は恐らくビオサバールの体積積分を使うと解けると思ったのですが、体積のとらえ方が分からずに詰まってしまいました。問2は「y=0の平面におけるベクトルポテンシャルをベクトルA＝(0,0,A₀)（A₀は任意の定数）」の使い方とまたしても体積積分の体積のとらえ方が分かりません・・・そもそもあまり自分の考え方に自信がないので、着目すべきポイントが間違っていればご指摘下さい。

SKJAXN · Accepted Answer

問1、問2とも、(i)は y<-d ですよね。その下で解答いたします。
私もNo.2さんが仰るとおり、アンペールの法則を用いる方が手っ取り早いと思います。

問1．
まず1枚の導体板が作る磁束密度を計算してみます。右側の導体板に着目してみましょう。導体板上の電流は、z軸方向を向く直線電流の集まりと見なせます。導体板が無限に広いため、場を考える位置(点Pとします)をy軸上に取っても一般性を失いません。そこで導体板上の微小要素(Xo, d, 0)～(Xo+δx, d, 0)間を流れる微小電流が、点P(0, d+Yo, 0)に作る磁界δHの大きさは、アンペールの法則より、
δH=(J*δx)/(2π*R) [ここでRは、R^2=Xo^2+Yo^2 を満たす]

よって磁束密度δBは、
δB=μ*(J*δx)/(2π*R) →{1} [ここでμは透磁率である(問題では与えられていませんが、これが無いと解答ができません。真空であれば値を入れることで回避できますが、それすら定義されていないため)]

向きはx軸方向に対し、θだけy軸正の向きに傾いた方向です。[ここでθは、tanθ=Xo/Yo を満たす]
次にδBの向きをx軸成分と、y軸成分に分解します。ただしy軸成分は、導体板上の微小要素(-Xo, d, 0)～(-Xo-δx, d, 0)間を流れる微小電流が、点Pに作る磁束密度のy軸成分と相殺されます。すなわち、y軸方向には磁束密度は発生せず、x軸方向のみとなります。x軸方向の磁束密度δBxは式{1}より、
δBx=μ*(J*δx)/(2π*R)*cosθ →{2}

導体板は無限に広いことを考慮すると、1枚の導体板が作る磁束密度Bは式{2}より、
B={x=-∞→∞}∫δBx=μ*J/(2π)*{x=-∞→∞}∫cosθ/R*δx →{3}

※ テキスト入力であるため、関数f[x]の定積分の表記を{x=a→b}∫f[x]dx とさせていただきました。

ここで点(Xo, d, 0)から点Pへ引いた線分と、点(Xo+δx, d, 0)から点Pへ引いた線分との成す角をδθとすると、δx*cosθ=R*δθが成立することを利用し、式{3}の積分変数をθに変換すると、
B=μ*J/(2π)*{x=-π/2→π/2}∫δθ=μ*J/2 →{4}

以上は、d<y について解いてきましたが、y<d では、アンペールの法則を考慮するとBの方向が式{4}と真逆になります。よって1枚の無限に広い導体板が作る磁束密度は、
d<y のとき、#B=(μ*J/2, 0, 0)
y<d のとき、#B=(-μ*J/2, 0, 0)

※ テキスト入力であるため、ベクトル表記を#Xとさせていただきました。

左側の導体板も同様であるため、導体板間では磁束密度は相殺され、導体板外では2倍になりますので、

(i)   (-μ*J, 0, 0)
(ii)  (0, 0, 0)
(iii) (μ*J, 0, 0)

問2．
磁束密度ベクトル#Bと、ベクトルポテンシャルベクトル#Aの間には、
#B=#∇×#A →{5}

の関係があります。また#Aは「電流と同じ方向」、すなわちz軸方向のみですので、#A=(0, 0, Az)とおいて式{5}を解くと、#B=((∂/∂y)Az, 0, 0) となります。このAzを求めるためには、Bを変数yで積分することになります。

(i) Az=∫(-μ*J)∂y=-μ*J*y+Co →{6} [Coは積分定数]
y=0においてAz=Aoより、Co=Ao ですから、解答は (0, 0, -μ*J*y+Ao) //

(ii) 磁束密度が存在しないため、解答は (0, 0, Ao) //

(iii) (i)の要領により、解答は (0, 0, μ*J*y+Ao) //

いかがでしょう？

SKJAXN · Answer

No.3と同じ者です。

>ただしy軸成分は、導体板上の微小要素(-Xo, d, 0)～(-Xo-δx, d, 0)間を流れる微小電流が、点Pに作る磁束密度のy軸成分と相殺されます。
 
文章で伝えることが下手くそで、申し訳ありません。

微小要素(-Xo, d, 0)～(-Xo-δx, d, 0)は、微小要素(Xo, d, 0)～(Xo+δx, d, 0)と、y軸に対して線対象の位置にあります。
貴殿ご指摘の微小要素が点Pに作る磁束密度の方向は、アンペールの法則(微小要素が点Pに作る磁束密度の向きを、右ネジの法則で回してみて下さい。)より、向きはx軸方向に対し、θだけy軸負の向きに傾いた方向です。ここで磁束密度をx軸成分と、y軸成分に分解します。このx軸成分は、大きさは同じですが、向きは微小要素(Xo, d, 0)～(Xo+δx, d, 0)が作る磁束密度の向きのx軸成分と真逆になります。ということで、x軸成分は相殺されて0になることをお伝えしたかった次第です。

veryyoung · Answer

＃２さんが示唆する方法、あるいは＃３さんの方法で、磁界（磁束密度）は簡単に求まりますが、問２の答えから問１を導く事もできますよ。ベクトルポテンシャルは、静電界問題の電位にそっくりな形をしている事を利用しましょう。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/32denjk/140elc.html　の下部の表、電場と磁場、φとＡの式に着目してください。両者の違いは、「 ρ / ε 」 と 「 μ j 」 にすぎません。

同極性でρに一様帯電した平行平板の間の電界は零、電位は一定、外部には距離の一次の電位傾斜があり、電界gradφは、ρ / ε ですね。この静電界の知見から出発すれば、ベクトルポテンシャルを積分計算する必要はありませんし、磁束密度も自明です。　Ax = Ay = 定数、Az は、y のみの関数ですから、B = rot A の大きさは電界の大きさと同形で、x軸方向になるだけです。　電界が「 ρ / ε 」 だから磁束密度は「 μ J 」です。なお、Azは便宜上 y=0で Ao（任意定数）にしろと言っています。無限遠で零と置いたのでは、y=0 で無限大になり、表現に難があります。Bを求める目的では変化分しか使いませんからAoは任意定数で良いのです。

FT56F001 · Answer

この問題，難しい積分で苦労するよりも，
解の形を予想した上で，
積分形アンペールの法則
∫ H dl = nI
にもっていく方が早いです。
線積分は，xy平面上の長方形の四辺を走らせます。
ただし，解(磁束密度のxyz成分とその座標依存性)
をある程度予想できた後に適用する段取りですが。

[磁束計算手法に関する私見]
電磁気学は，いろんな物理量といろんな物理法則が出てくる上に，
多重積分や偏微分方程式など数学的扱いが大掛かりなので，
勉強しにくい学問だと思います。

ビオ・サバール則は，基本法則ではあるが，案外使えない。
面倒な積分が必要になることが多いと思います。
しかも，媒質の透磁率が一様でないと使えない。

透磁率が場所に依存する場合でも使えて，普遍性を持つ法則が，
アンペールの法則です。
特に，積分形アンペール則が，いろんな局面で使いやすいと思います。

同じアンペール則でも，微分形にするとrotという演算子のイメージが難しく，
ベクトル解析の数学が重いので使いにくい，
というのが個人的経験です。ただし，電磁気学を応用する分野によるかもしれません。

FT56F001 · Answer

この問題，直観的に考えると，とても簡単な磁束分布になることが分かります。
「z方向の無限長直線電流の周りの磁界」は高校物理レベルですが，
その重ねあわせです。
ビオ・サバールを使ってゴリゴリ計算しはじめる前に，
「どんな磁束分布になるか」のイメージをつかみ，
磁力線のポンチ絵を描いてみることをお勧めします。

イメージをつかみ，直観的な答えを予想した後で，
それを厳密に示すために，どんな数学的手法を使うか
検討するという段取りでしょう。

無限長直線電流の周辺磁界を積分するのか，
ビオ・オサバールで積分するか，
マックスウェル方程式に書いてみるのか，
ラプラス方程式の境界値問題に持っていくか，
そもそも，自分はどの手法なら使いこなせるのか，
(電磁気で使う数学はけっこう重たいので，
 院入試の限られた回答時間内に，
 使いこなせない手法に手を出すと失敗します。)

なお，問題文の「単位長さあたり電流密度J(m/A)」は，
J [A/m] のミスタイプかな?

電気磁気学の問題です。

問1、問2とも、(i)は y<-d ですよね。

この回答への補足

No.3と同じ者です。

＃２さんが示唆する方法、あるいは＃３さんの方法で、磁界（磁束密度）は簡単に求まりますが、問２の答えから問１を導く事もできますよ。

この問題，難しい積分で苦労するよりも，

この問題，直観的に考えると，とても簡単な磁束分布になることが分かります。

この回答への補足

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