コインの裏表は本当に１/２？

例えば偶然、インチキなしでコインの裏表の表が１００回続いたのなら、
１０１，１０２，１０３は、裏になる確率のほうが高いですよね？
計算する方法ってありますか？

No.12 ベストアンサー 回答者： droyce 回答日時： 2011/11/02 00:33

ひとつ追加。

100回投げて得られる表の回数は、47回～53回が約50％。残りの50％は、その範囲外になります。
1000回投げた場合は、489回～511回が約50％になる。
回数を増やすにしたがって、どんどん範囲は広くなります。

これで、回数を増やすと1/2から遠ざかるってことを解ってもらえますかね。
確率的には、1/2に近づくんですよ。47回なら47％だし、489回は48.9％なんだから。

ゆえに、表が続いたから、次は裏が出やすいなんてことは、ありえない。
ということが・・・まだ説明不足かもしれませんが、このくらいで。

この回答へのお礼

正規分布みたいなものがあるんですかねー？
それを検定して、棄却できるほどの端はないのでしょうか？

ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:30

No.15 回答者： Charlie24 回答日時： 2011/11/04 23:18

大数の法則の修正という言葉が出てきますが、大数の法則とは試行回数を繰り返したときに

本来の収束すべき結果からブレたときに神様が確率をいじって最終的につじつまを合わせるように
持っていくという意味ではありません。
単に試行回数を増やせば確率（=試行の結果/試行回数）が収束していくと言っているだけです。

この話は勘違いしがちなので具体的な例で。
コインを投げるという試行を十分に大きな数だけこなしたとします。
ここで十分に大きい数字というのを仮に10000回とします。
コインの表の出る確率は1/2なので、表の出る回数の期待値は5000回となります。
このとき、10000回コインを振れば表の出る回数が5000回へと収束するようになると
大数の法則が言っているわけではありません。また10000回を100000回に増やせばより
期待値に収束するとも言っていません。
大数の法則が言っているのは試行回数を増やせば表の出る確率（=表の出る回数/試行回数）が
0.5へと収束するということです。

たとえば10000回コインを投げたとし、はじめの100回は質問者様が書いたような
すごい偶然が続き、100回連続で表だったとします。そして後の9900回は
本来のコインの挙動通りで均等に表、裏が出たとします。
そうすれば10000回投げたうち表が5050回となり、表の出た確率は0.505となります。
同様に100000回コインを投げて、はじめの100回だけ表が続き、残りの99900回が
均等であれば、表の出た確率は0.5005となります。
試行回数を増やしたとき誤差というかばらつきは生じるけれど、
それは試行回数が多くなれば相対的に非常に小さくなるということを
大数の法則は言っているだけです（まあ100回続けて表が出るということを
誤差やばらつきで片付けてしまうのは問題かもしれないけれど）。

ちなみにコインを投げるという行為は二項分布で説明できます。
試行回数をn回、表の出る確率をpとしたとき、
表の出る回数の期待値はnp、標準偏差は{np(1-p)}^0.5 （分散がnp(1-p)、
標準偏差はその平方根）になります。
ここでn回コインを振った結果、表の出た回数というのは、ぴったり期待値にはならず、
ある程度ばらつきます。そのばらつき具合が標準偏差で表され、
約68%で表の出た回数はnp-{np(1-p)}^0.5～np+{np(1-p)}^0.5の範囲に
入ります。ここでこの式を見ていただければ分かるとおり、nを大きくすれば、
範囲がどんどん大きくなるのです。つまり表の出た”回数”で見ると収束はしないのです。
それに対して、”確率”だとnp-{np(1-p)}^0.5～np+{np(1-p)}^0.5を試行回数のnで割るので、
p-{p(1-p)/n}^0.5～p+{p(1-p)/n}^0.5となり、nを大きくすれば、
範囲がどんどん小さくなって収束していきます。

この回答へのお礼

＞10000回コインを振れば表の出る回数が5000回へと収束
は、わかるんですが、でも、１/2で片方の面が続く事はまれですよね？
どちらかが連続して続いた場合、偏ると思うのですが。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:34

No.14 回答者： masudaya 回答日時： 2011/11/02 22:41

＃8です.

もしかして，この質問はインチキのないコインで，
これまたインチキのない投げ方で投げたとき
たまたま、100回続けて表になったという状況でしょうか？

もしそうだとすれば,ほかの方も答えていますように
100回以降についても表も裏も1/2の確率になります.
(もっと言うとそのコインが本来持っているべき確率になりますが...)

私は,インチキなしで投げたが,インチキかどうか分からないコインであった．
という状況を想定して質問に答えました．
なので,コインがインチキであるという回答になりました.
(日本語って難しいですね...)

この回答への補足

そうですねー。確率という言葉を使ったのがまずかったのかもしれません。
確率は１／２を否定はしません。
が、コインの表が続いた場合は、大数の法則により、回数を重ねれれば、１／２に近づくはずですよね？
もちろん、大数の法則の修正がどこで行われるかはわからないのですが、通常は１００回も表が出るとは考えられない。

補足日時：2011/11/04 19:43

この回答へのお礼

そうですね。
100回はインチキくさかったですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:32

No.13 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/11/02 11:11

本気で大数の法則を持ち出すなら, ほんの 100回連続して表が出たくらいで「強い修正」などを考える必要はありません. 100回じゃなくて 1000回でも 1兆回でも, あるいは 500,000,000,000,000,000,000,000,000,000回連続して表が出たとしても同じことです.

こんなごくごく少ない回数で考えちゃダメなんです.

逆に言うと, 大数の法則に言及しながら「修正が必要」というのだとしたら
・大数の法則を勘違いしている
・極限が分かっていない
・別の何かを理解していない
など, いずれにしてもどこかで認識が不足しているということです.

この回答への補足

＞こんなごくごく少ない回数で考えちゃダメなんです.
ということは、もっと大きな数なら、修正があるということなのでしょうか？
0.００００００００のゼロが何個続いたあとの1だって、数学的には、高い、っていえるでしょうに？
そうなると、少ないサンプルでも、わずかだけど、修正力があるのでは？

現実問題として、表が出続ける回数なんて、５回連続がいいところでしょう？１０回だって、びっくりするし、１００回なんて、イカサマだと答えています。
なぜなんでしょうか？

補足日時：2011/11/04 19:37

この回答へのお礼

正式な実験で、500,000,000,000,000,000,000,000,000,000回連続して表が出たびっくりしますよね？
途中修正が入って当たり前だと思うのですが・・・。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:31

No.11 回答者： droyce 回答日時： 2011/11/02 00:15

No.3です。

たしかに、大数の法則では、試行回数を増やすにしたがって、理論上の確率に近づくと言っています。
が、あくまでも、「ほとんど確実に」です。必ずそうなるとは、一言も言っていませんね。
1億回投げて、表が出続けることを否定しているわけではないし、事実、出る可能性は0ではありません。

ま、それはそれとして、
表が100回続いたといっても、それは、たまたまそうなっただけであって、
500,000,000,000,000,000,000,000,000,000回コインを投げれば、50％くらいの確率で出る。
そして、それが、投げているうちのいつ出るかは、誰にもわかりません。
でも、仮にどこかで100回連続表が出たところで、上の回数分だけ投げれば、
全体として、ほぼ1/2になるでしょう。100回なんて、ものの数じゃないんだから。

つまりですね、回数を重ねるにしたがって、仮にどこかで極端な結果が出ても、
全体の結果には影響を及ぼさなくなる。ゆえに、1/2に近づくということです。
100回表が続いたって、そんなのどーってことないってくらいまで投げ続けりゃいいんです。
そしたら、「ほとんど確実に」1/2に近づきますよ。別に、超能力みたいな力が働かなくたって。

ちょっと、逆に考えてみましょうか。
たとえば、100回投げてピッタリ1/2になる確率は、約8％ですが、
1000回投げて、ピッタリ1/2になる確率は、2.5％しかないんです。
投げ続けるにしたがって、1/2ジャストから遠ざかる確率もまた、高くなる。
100回投げるより、1000回投げる方が、表と裏の回数差は大きくなるんですよ。
ただ、より1/2に近いのは、1000回投げた方ってだけなんです。
質問者さんの考え方だと、どっかで補正が働いて、1/2に近づくということになりますが、
実際は、そうじゃない。投げれば投げるほど、回数的には差が出るんです。ふつうは。
でも、計算すると、1000回の方が、たぶん1/2に近い。率としてはね。

100回で表52裏48なら、表の確率52％、回数差は4。
1000回で表504裏496なら、表の確率50.4％、回数差は8です。
100万回投げたら、たぶん、表と裏の回数差は、けっこうな数になりますよ。
でも、確率は50％に限りなく近づくでしょう。

と、ここまで書いてみましたが、はたしてご納得いただけたでしょうかねぇ。
まだ弱いですよね。きっと。でも、私にとってはこのくらいが限界かも。

この回答への補足

１００回表が、たまたまそうなった・・・というのは賛成なんです。
が、誰しもそんなのありえないと、回答しましたよね？
うーん、私が何がよくわからないかがよくわかってない。

補足日時：2011/11/04 19:28

この回答へのお礼

まぁ、確かにきりがないという考えは分かります。
でも、どこで修正されるか、、、の一般的な予想というのはあると思うんですが。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:28

No.10 回答者： saisho_wa_goo 回答日時： 2011/11/01 21:42

ウケ狙いでしたが、面白いどころか不愉快なだけでしたね。

申し訳ありませんでした。大失敗です。

私も知らなかったのですが、たった100乗、とんでもなく天文学的な数値なんですね。
どうも失礼しました。

No.9 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/11/01 14:10

（１）確率がジャスト１/２のコインは存在しません。

確率は「モデル」（想像）の世界でのみ存在します。
（２）確率は試行結果を知る前にだけ意味があり、知った後は意味を持ちません。（知る前に立ち戻って議論するのは構いませんが。）
（３）ゆえに「インチキなし」という仮定は、「過去に１００回続けてオモテが続いた」という事実よりも重いものです。

この回答への補足

そうなんですよね。
確率というのは、想像上のモノなんで、大数の法則で無限回やった場合、1/2になるだろうという事なんですよね？
当然、試行回数が少なければ、誤差があるわけです。
では、１０回分裏が出る場合と、１００回分裏が出た場合では、大数の法則から見た誤差の重み付け？が違うと思うのですが。

大数の法則は、人間には分からないけど、どこかで１/2になるような修正が行われるんですよね？
１０回裏なら、次の１０回を表にすれば１/2になりますが、１００回裏なら、次の１００回を表にしないと1/2には出来ず、強い修正が必要と思うのですが・・・。

補足日時：2011/11/01 20:05

この回答へのお礼

モデルの世界のみというのはそうですよね。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:26

No.8 回答者： masudaya 回答日時： 2011/11/01 12:24

もしコインの裏表での確率が1/2の場合

100回連続で表の出る確率は

(1/2)^100=7.89×10^(-31)

となり,あり得ない確率結果となります.
要するに,このコインは表が出やすいといえます.

100回やる前に気づけよという気もしますが...
ちなみにコインの裏表での確率が1/2の場合
7回連続して表になる場合で1％を切ります.
20回連続で1ppmを切ります.
この間くらいでいかさまと判断してもよいでしょう.

この回答への補足

ありえないのですか？
超々々低確率ではなく？
例えば、大数の法則では、試行回数が少なければ、誤差が大きくなる、３回連続で表がでる可能性もある。
その空想上の延長で、１００回なわけです。

補足日時：2011/11/01 19:59

この回答へのお礼

7回連続で１％を切りますか。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:25

No.7 回答者： rinkun 回答日時： 2011/11/01 08:48

コインの裏表が1/2というのは数学的に自然な仮定ではありますが、現実のコインにおいて偏りがないと考えるのは不自然でしょう。

そういう意味で表が100回続くなら表が出やすいコインと考えて表に賭けるのが妥当です。
逆に数学的に正しい1/2確率のコインなら、表が100回続いた後でも裏表の確率は1/2です。
なお、1/2コインで表が100回の確率はとても低いですが、ちょうど表50回裏50回になる確率もそれほど高いわけではありません。どちらかに偏る確率がかなりあります。

この回答への補足

コインの裏表の確率も、0.5になったり、0.51になったり、0.499になったりするんですよね？
では、その場合、0.499の確率なら、次のコインは、少しだけたかくなると思っていいのでは？
そもそも、１/２というのは、計算上の数値なわけですから。

補足日時：2011/11/01 19:56

この回答へのお礼

現実問題として、偏るのですかー。
たしかに、現実だとそうですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:24

No.6 回答者： saisho_wa_goo 回答日時： 2011/11/01 07:52

計算まちがえた。

宇宙人のいる星、500億個だ！

１０１，１０２，１０３・・・・　　ずーーーーっと表。

とあなたが気づいて "表" と行くと、
向こうはそれを読んで "裏" と来る。

この回答へのお礼

やはり、神はいますか。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/11/05 17:20