整数　偶数　奇数　濃度

Question

前回の質問で、複素数と実数と虚数の濃度は同じであると教えて頂きました。
前回質問：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7248730.html#
数学的に厳密ではありませんが、理解できました。

すると、整数、偶数、奇数の濃度も同じなのではないかと考えました。
なぜなら、整数、偶数、奇数は無限集合だからです。
無限集合の定義は、その集合の真部分集合と
等濃度であることのようです。

よって、整数と偶数と奇数の濃度は等しいと考えました。

整数、偶数、奇数の濃度は等しいのでしょうか？

以上、よろしくお願い致します。

boiseweb · Accepted Answer

気になるのですが，「その集合の（ある）真部分集合との間に全単射が存在する」ことが無限集合の「定義」であると言明することには，慎重であってほしいと思います（学習者，教える人，どちらの立場の人にも）．

大学教養レベルの集合論の一般的な教程では，有限集合と無限集合の定義は

(i) A が有限集合 = ある自然数（0以上の整数）　n について， A の濃度が n である = ある自然数（0以上の整数） n について， A と { 0, ..., n-1 } との間に全単射が存在する
(ii) A が無限集合 = A が有限集合でない

とするのがスタンダードだというのが，私の理解です．

集合 A が「A と， Aの（ある）真部分集合との間に全単射が存在する」という性質をもつとき， A はデデキント無限集合であるといいます．
デデキント無限というコンセプトは，集合論の黎明期にデデキントが無限の本質を哲学的に考察する過程で得た着想で，デデキントは「この性質こそが無限の本質ではないか」と提唱しました（藤田博司「魅了する無限」（技術評論社）に関連する話題が書かれています）．
しかし，当時から現代に至るまで，数学において「デデキント無限を無限集合の規範的な定義として採用する」という合意はなされていないはずです．

公理的集合論の立場では，

-- 有限集合，無限集合の定義は上述 (i)(ii) のとおり
-- 「デデキント無限集合は無限集合である」は定理として証明できる
-- 選択公理を仮定すれば，「無限集合はデデキント無限集合である」（したがってデデキント無限は無限と同値）が定理として証明できる

という形で理解されています．
このことを理解したうえで，デデキント無限を「無限集合の定義の同値な言い換え」と説明するのは差し支えありませんが，デデキント無限を「それが無限集合の定義だ」と言い切るのは，ちょっと違うな，という印象です．

なお，選択公理を仮定しない場合，「無限集合はデデキント無限集合である」は証明できない（無限集合だがデデキント無限でない集合が存在することが起こりうる）ことが知られています．したがって，選択公理が仮定されていない文脈では，無限とデデキント無限は区別しなければなりませんし，デデキント無限を（断りなく）無限集合の定義として採用するのはまずいです．

alice_44 · Answer

なるほど、これは勉強になった。
標準であれば、美しくなくともしかたがない。

boiseweb · Answer

私はここで「有限と無限の区別は何であるべきか」という思想的な話をするつもりは全くありません．「有限集合」「無限集合」という用語の【現代の数学で現実に使われている用語法】を問題にしています．

私の手元には，大学教養レベルの集合論の教科書と公理的集合論の教科書が洋書・和書あわせて20冊ぐらいありますが，「有限集合」「無限集合」という用語の定義はすべて「自然数濃度＝有限」方式で，デデキント流で定義しているものはひとつもありません．デデキント流の有限・無限を議論する場合は例外なく（選択公理を仮定するかどうかに関係なく）「デデキント有限（D-有限）」「デデキント無限（D-無限）」という用語を導入しています．
歴史的経緯はともかく，現代の数学では，「有限集合」「無限集合」という用語はもっぱら「自然数濃度＝有限」方式で定まる有限・無限概念のために使用するのがスタンダードです．

そのうえで，私の主張の中心は次のとおりです．
========
数学の学習者に数学的内容を教える場合には，学習者を混乱させないための配慮として，【現代の数学で現実に使われている用語法】（＝教科書の用語法）を尊重すべきである．「有限集合」「無限集合」については「自然数濃度＝有限」方式のほうが【現代の数学で現実に使われている用語法】だから，それを前提に教えるのが，学習者（質問者）に配慮した教え方である．
========

alice_44 · Answer

そうかな？
デデキント無限でないことと自然数濃度であることが、
選択公理を置かない数学では一致しないのは当然として、
その狭間にあるかもしれない集合を無限とするか有限とするかに
標準なんてあるのかね。選択公理を置かないこと自体が標準ではないのに。
その辺、識者の意見はどうなんだろう？

自然数濃度＝有限 方式については、いくつかシックリしない点が。
(1) そもそも、「無限集合」の定式化はデデキント無限が最初。
(2) 有限無限の区別は公理的集合論そのものとは独立であり、
「集合」が公理的に定義された後で両者を区別する定義としては
デデキント式のほうが簡潔。
(3) 主観的になるが、その方式だとアレフ０の立位置が美しくない。

Tacosan · Answer

あそうだ, ちょっと気になったんだけど, そもそも
「無限集合の定義は、その集合の真部分集合と等濃度であることのようです」
というのが正確な表現でないことは分かってほしい.

alice_44 · Answer

←A No.2 補足
複素数と実数の比較でも、整数と偶数の比較でも
同じことだけれど、
「集合として大きい」という言葉の意味は何か？
はたして、そのことばに何か意味はあるのか？
辺りのことを、考え直してみるとよいです。

集合の包含関係でいえば、複素数⊃実数 だし、
濃度でいえば、♯複素数＝♯実数 です。
この２つの比較法は、比べているものが違うので、
結果も異なるのです。

貴方の「集合として大きい」は、どういう比較法
なのでしょうか。そこが明らかになれば、
答えも出てくるのだと思います。
胸に手をあてて、よく考えてみましょう。

Tacosan · Answer

そもそも「集合が大きい」ということを定義しないことには話が進まないのだが, 例えば
「A が B より大きな集合である」
ことを
「A が B を部分集合として含む」
ということと定義するなら,
「複素数と実数では複素数の方が集合として大きい」
とか
「整数と偶数の集合は整数の方が大きい」
とかいえます. もちろんこのように定義すると「どちらがどちらの部分集合でもない」場合には適用できないんだけどね.

ちなみに「アレフ1 は、アレフ0 の次に大きい濃度である」というのは
・アレフ1 はアレフ0 より大きい
・その他の濃度はアレフ1 より大きい
ということ.

WiredLogic · Answer

＞整数、偶数、奇数の濃度は等しいのでしょうか？

その通りです。

ただ、「濃度」や「真部分集合」のような、ギョ～カイ用語^^を使うと、数学の得意な人は、自分たちの仲間のタマゴやヒヨコだと思って、細かい部分にツッコミを入れてくるので、本当はそうでなく、そういうことに興味のある素人さんだったら(私もそのお仲間ですが^^)、もっと普段使う言葉、自分の頭の中で使っている言葉で質問なさると、もっと、親切な回答が、例えば、

「どんな自然数も、２倍したら偶数になるので、自然数の個数と(プラスの)偶数の個数は同じになるような気がしますが、普通に考えていると、偶数は整数の半分しかないような気もします。ひょっとしたら、偶数は整数の半分しかないというのは、いくらまでという限りがある範囲で考えているせいで、限りがない場合には、個数が同じと考えないといけないのですか？」

のように質問すれば、

「(大体)その通りですが、細かい点を説明すると…」とか
「限りがなければ、個数は数えてしまえる訳ではないので、そういうときには『濃度』というギョ～カイ用語を使いますが、筋道としては、そういう感じで問題ないでしょう」

などという回答が返ってきやすいと思います。

質問者さんの場合、先に、応用編^^の方で、疑問を持ち、その質問に対して得られた、応用寄りの回答で覚えた言葉・概念を使って、基本編^^の方を考えようとされたので、質問が、ちょっと生煮え気味になったのかもしれません。順番が逆、というか、普通の本で説明してある順番、普通の人が疑問を抱く順番で、ご質問なさると、もっと解りやすかったかも。

ごく普通の言葉づかいで、入口の話だけすると、

一番、基本の無限が、自然数の個数？で、
当然、これは１番・２番・…と自然数の番号を振っていくことができる。
そこから、可付番無限と呼ばれ、前の質問の回答にあった言葉を使うと、
実数や虚数の個数？はもっと多くて、アレフ1、こっちは、アレフ0と呼びます。
(アレフ0より小さい無限はあるか、とか、間くらいの大きさの無限はないのか、
などになると、もっと面倒な議論が必要だったり、数学的にも結論が出ていな
かったりと面倒なので、ここではツッコまず^^、興味があれば、このへんの基礎が
解ってから、本格的に勉強してください)

では、整数の個数？は、というと、
0,+1,-1,+2,-2,… と並べると、すべての整数が出てくるし、
１番・２番と番号を振ることができるので、個数？は同じ？

ただ、個数を数えると、例えば、-100～100では、0もあるので、
整数は自然数の倍くらいあることに。
上の番号付けで考えても、数はすべて、絶対値100以内という制限が
あれば、100番目に+50がくると、101番目の-50や、102番目の+51あたり
からは、番号付けができなくなり、整数は自然数の倍くらいというのが
成り立ってしまう。
つまり、番号付けをする＝１対１対応の関係を調べることと、
実際に個数を数えることは、数に限りのある中では、
基本的に同じことになっています。

ところが、制限を付けない話になると、そもそも、個数を数えること
自体ができなくなります、そこでどうするか、というと、そこからは
個数そのものではなくなるので、とりあえず、個数？と書くことにして、
有限のときには、個数を数えることと、１対１対応の関係を調べることは
おなじことだったんだから、無限になってもできる、１対１対応関係を
比べることを、個数？を考えるときのルールにする、

すると、整数と自然数の個数？は同じ、同じ考え方をあてはめると、
自然数nと、プラスの偶数2n、プラスの奇数2n-1は、１対１対応をする、
2,4,6,8,…にも、1,3,5,7,…にも、１番・２番・…と番号をふって、
いけるから、プラスの偶数の個数？や奇数の個数？も、自然数の個数？
と同じ、0やマイナスを含めた偶数や奇数にも、自然数⇒整数で考えた
のと同じようなことが成り立つから、一般の偶数や奇数の個数？も、
自然数の個数？と同じ、

こういうことは、どうかすると、小学生向けの数学解説書にも書いて
いたりすることなので、細かい部分は、何か解りやすい解説書を読んで
もらうことにして、さらには、有理数の個数？は、自然数の個数？と同じ、
ということまで成り立ちます。

ところが、実数の個数？になると、それよりはるかに多いことも解る。
それで、アレフ0とか1とかいって区別されています。

また、個数？というのもアヤシイ用語なので、もうちょっと数学的に
キチンと決めたものを、上の仮想質問・回答で書いたように「濃度」
という訳です。

ルールの決め方はそれでよかったの？という疑問が湧くかもしれませんが、
例えば、整数は自然数の倍くらい、という常識を残せるようなルールの
作り方が全く考えらなかった訳ではないと思いますが、こういう場合、
すべての常識がいつも残せる訳じゃなく、何か他の常識を捨てないと
いけなくなる、どっちを捨てた方が、より合理的だったり、有益だったり、
シンプルで美しいだったり、という判断で、考えた人だけじゃなく、
数学者(場合によっては多分野の学者も)全体として、なされた、という
ことです(誰かが提唱して、運悪く人に知られずに、以外の理由で、
生き残れなかったルールや理論などいくらでもあります)。

alice_44 · Answer

ひとくちに無限集合といっても、無限濃度には
濃いやつ薄いやつ様々あるが、
整数と偶数と奇数は、どれも可算無限で等濃度。
結論は当たっているが、その根拠を示せていない。

まず、等濃度の定義を本で確認した後、
整数と偶数と奇数の間に、それぞれ
全単射が存在することを示してごらんなさい。

Tacosan · Answer

思考過程がハチャメチャであるにもかかわらず, なぜか結論の「整数と偶数と奇数の濃度は等しい」があっているという不思議.

整数 偶数 奇数 濃度

気になるのですが，「その集合の（ある）真部分集合との間に全単射が存在する」ことが無限集合の「定義」であると言明することには，慎重であってほしいと思います（学習者，教える人，どちらの立場の人にも）．

なるほど、これは勉強になった。

私はここで「有限と無限の区別は何であるべきか」という思想的な話をするつもりは全くありません．「有限集合」「無限集合」という用語の【現代の数学で現実に使われている用語法】を問題にしています．

そうかな？

あそうだ, ちょっと気になったんだけど, そもそも

←A No.2 補足

この回答への補足

そもそも「集合が大きい」ということを定義しないことには話が進まないのだが, 例えば

＞整数、偶数、奇数の濃度は等しいのでしょうか？

この回答への補足

ひとくちに無限集合といっても、無限濃度には

この回答への補足

思考過程がハチャメチャであるにもかかわらず, なぜか結論の「整数と偶数と奇数の濃度は等しい」があっているという不思議.

この回答への補足

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

整数　偶数　奇数　濃度