整数問題についてですが、
「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答えは、「aが偶数であるとき=0,
aが奇数のとき=1」となるのですが、
この求め方として、「a=1,2,3…のときa²=1,4,9…だからa²を4で割った余りはaの偶奇で決まるから…」というように、aの偶奇で考えているのですが、どのように考えればこのような発想が浮かぶのでしょうか?
また、a²=4k±1,4k+2などというように、a²から直接求めることはできるのでしょうか?
A 回答 (12件中1~10件)
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No.12
- 回答日時:
4を法として考えれば一発です。
合同式を使う。a≡0,1,2,3(mod4)だから両辺を2乗すると
a²≡0,1,4,9≡0,1,0,1(mod4)。
これで終わり。[上の意味は、a²を4で割ると余りが0か1]
No.11
- 回答日時:
a=4k+r
a²=(4k+r)²=4(4k²+2kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,(aを4で割った余りの2乗)を4で割った余りに等しい
a=2k+r
a²=(2k+r)²=4(k²+kr)+r²
だから
a²を4で割った余りは,aを2で割った余りの2乗に等しい
No.10
- 回答日時:
> a=1,2,3…のときa²=1,4,9…『だから』a²を4で割った余りはaの偶奇で決まる
この『だから』は、かなり危うい。
具体例や実験は、数学的事実に対する予想を得る強力な手段ではあるが、
それで得られるものは予想でしかなく、『だから』と推論できるようなものではない。
「a=1,2,3…のときa²=1,4,9…であることを見ると、
a²を4で割った余りはaの偶奇で決まるように思えてならない」
くらいにしとくのが安全かつ健全。
この「思えてならない」部分を、本当にそうなのか演繹で検証する過程が数学だ。
「aの偶奇で決まるように思えて」のようなシンプルな予想が立つと、
その是非を検証することは易しくなる。この問題の場合...
aが偶数 ⇒ a=2k(kは整数)と書ける ⇒ a²=4k² ⇒ a²を4で割った余りは 0,
aが奇数 ⇒ a=2k+1(kは整数)と書ける ⇒ a²=4(k²+k)+1 ⇒ a²を4で割った余りは 1.
と単純な計算で済む。
良い予想を立てることは、それ自体は証明ではないが、
証明への道標となり得る。
No.8
- 回答日時:
4で割ったときの余りを知りたいなら
「通常は元の数字も4で割った余りを考える」のが基本。
(4で割った余りで場合分けをしていても問題ない)
ただし、今回のように偶奇だけで場合分けをすれば十分な
場合も存在する。その見極めは「実験」。
a^2のあまりは
a=1のとき1
a=2のとき0
a=3のとき1
a=4のとき0
a=5のとき1
a=6のとき0
ここくらいまで計算してみれば
aを4で割った余りで場合分けすることは必要なく
偶奇で場合分けをすればいいことに気づける。
こういった「実験」というのは有効なことが多いので
設定が複雑な問題の場合は実験してみることが大切。
後半の質問、a^2から攻める方法は×。
No.7
- 回答日時:
a²=4k±1,4k+2などというように、a²から求めてはいけません
a=4k±1,4k+2などというように、aから求めるのです
a=4k+1のとき
a²=(4k+1)²=4(4k²+2k)+1=4K+1
a=4k-1のとき
a²=(4k-1)²=4(4k²-2k)+1=4K+1
a=4k+2のとき
a²=(4k+2)²=4(2k+1)²=4K
だから
a²=4K-1になる事はあり得ない
回答ありがとうございます。
質問なのですが、なぜaを4で割ったときで考えるのでしょうか?aを4で割ったものがa²を4で割ったものに繋がるというのがピンときません。
No.5
- 回答日時:
No.3です。
> (a^2)/4は(a/2)^2で考えればいいよねってことですか?
はい、そうです。
aは正の整数なので、
a/2の余りは1か0ですから、
その余りの2乗も1か0、になります。
No.4
- 回答日時:
数学の基本的な考え方で具体化!
してa=1,2,3…のときa²=1,4,9…としていけば
偶数は2n でその2乗は4n^2 と必ず4の倍数ですから0
奇数は2m+1 2m-1 でも2乗すれば
(2m±1)^2=4m^2+4m±1 で余りは1
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