No.2
- 回答日時:
前問のようにxの関数とyの関数の積で表されませんので、2変数関数のマクローリンの定理の公式を使って一般的な方法、つまり(0,0)の周りの高階偏微分係数を計算してマクローリン展開の公式に代入して行きましょう。
参考URLにマクローリンの展開公式(テーラー展開の(x0, y0) = (0, 0) の場合)や展開例題が載っていますので、ただ機械的にカリカリ計算するだけです。
偏微分係数の分子にx,sin(y)の項が出ますので(0,0)における変微分係数はゼロになってしまいます。この意味では上手い方法がない訳ではないですが、一度は正攻法で展開することも経験しておいた方がいいと思います。ちゃんと正攻法を消化した後に、うまい方法はやった方がいいと思います。
[比較的上手い方法]
h(z)=(1+z)^(-1)=1-z+z^2-z^3+z^4-z^5+ ...
f(x,y)=h(xsin(y))
=1-xsin(y)+x^2*(sin(y))^2-x^3*(sin(y)^3)+ ...
と展開できるので (sin(x))^n(n=1,2,4)の一変数のマクローリン展開係数だけ計算すれば良くくなります。
f(x,y)=1-xy+x^2y^2+(1/6)xy^3-x^3y^3-(1/3)x^2y^4-(1/120)xy^5+x^4y^4+(1/2)x^3y^5
+(2/45)x^2y^6+(1/5040)xy^7 - ...
参考URL:http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2 …
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