集合,写像の問題の解き方を教えてください。

正整数全体の集合をN、実数全体の集合をRで表す。写像ｆ；N→Rにつき、実数の閉区間[５、６]の要素で、像ｆ(N)には属さないものが存在することを証明せよ。
　※つまり、差集合[５、６]＼ｆ(N)は空集合ではないことを証明せよ。

この問いをどういう方針で解き、どう結論に導かれるか分りません。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masudaya 回答日時： 2012/02/09 11:46

その写像があると仮定して矛盾を示すのが一般的な方法

対角線論法として知られています.

試しに[0,1]で示してみます.(遠山啓“無限と連続”岩波新書)
自然数Nと開区間の集合X＝{x｜x∈(0,1)}
とで1対1で上への写像で結ばれたと仮定する.
すると次のような対応表ができることになる.

自然数：対応する集合X要素
１ ：0．a1a2a3a4a5a6・・・・
２ ：0．b1b2b3b4b5b6・・・・
３ ：0．c1c2d3c4c5c6・・・・
４ ：0．d1d2d3d4d5d6・・・・
・・・・・・・・・・・・・
これですべての要素が,自然数と結びついたはずであるが
以下の要素は,必ず対応がつかないことになる．
その数とは,小数第1位はa1以外の数,第2位はb2以外の数
第3位はc3以外の数,第4位はd4以外の数．．．．．
このようにすると,対応する自然数ｎと同じ少数第n位が
必ず異なっているため,今選んだ要素は上の対応表には含まれません．

と以上のような説明になります．
もっと詳しくであれば,上の書籍か対角線論法で検索ください．

この回答へのお礼

ありがとうございます。もう一度、トライしてみます。

お礼日時：2012/02/09 16:05

No.1 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/02/09 11:09

空集合だと仮定して、矛盾を導いたら