-2≦x≦4のとき、|x+2|+|x-4|の値を求めよ。という問題です。
解答を見ると、
-2≦x≦4より
|x+2|=x+2
|x-4|=-(x-4)
より
|x+2|+|x-4|
=x+2-(x-4)
=6
となっています。
どうして-2≦x≦4の範囲だと|x+2|=x+2 、 |x-4|=-(x-4) となるのでしょうか?
私なりに考えて見ましたが納得いきません。
|x+2|=x+2 となるのは、
x=-2を代入してみると、x+2=-2+2=0
x=4を代入してみると、x+2=4+2=6
だから、xの範囲がすべて正だからでしょうか?
|x-4|=-(x-4) となるのは
x=-2を代入してみると、x-4=-2-4=-6
x=4を代入してみると、x-4=4-4=0
となり、xの範囲がすべて負だからでしょうか?
0を含んでいるので分からなくなっています。
絶対値の外し方?符号の決め方?どのようにしたらいいのでしょうか?解説をお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>絶対値の外し方?符号の決め方?どのようにしたらいいのでしょうか?
まさにおっしゃるとおりです。絶対値を外すことができれば、そのような疑問はなくなります。外してみましょう。
具体的な数で考えてみましょう。|3|=3であり、絶対値の中が0以上のときは、符号を変えずに単に絶対値を外せばいいのです。また、|-3|=3であり、絶対値の中が0以下のときは、符号を変えて絶対値を外せばいいのです。
文字が含まれていても、全く同じです。絶対値を外すためには、その中が0以上なのか0以下なのかを判断する必要があります。つまり、不等式を解けばいいのです。|x+2|の絶対値を外すため、その前に、
「x+2≧0」と「x+2≦0」を解くだけです。「x≧-2」、「x≦-2」となります。とっても簡単ですね?つまり、「x≧-2」なら符号を変える必要はないし、「x≦-2」なら変えないといけません。(なお不等号の「=」は、両方のケースに付けておいて問題ありません)
とまあ、きちんと説明するなら以上のとおりなのですが、直観でも何となく分かりますね?つまり、x+2という式の形を見ると、「xが大きくなるほどx+2も大きくなるはずだ」と。「y=x+2」のグラフ(右上がり)なんかを考えてもいいです。けれども、2-xだと、「xが大きくなるほど2-xは小さくなるはずだ」と感じますね?だって、引く数がどんどん大きくなれば、全体は小さくなりそうですよね?「y=2-x」のグラフ(右下がり)を考えてもいいです。
|x-4|についても、全く同じ理屈です。慣れてください。
No.2
- 回答日時:
>|x+2|=x+2 となるのは・・・xの範囲がすべて正だからでしょうか?
>|x-4|=-(x-4) となるのは・・・xの範囲がすべて負だからでしょうか?
その通りです。
>0を含んでいるので分からなくなっています。
0の絶対値は0ですよ?
>絶対値の外し方?符号の決め方?どのようにしたらいいのでしょうか?
まず、-2<y<-1という範囲をとるyを考え見てください。
このとき、|y|は1<y<2となります。
当たり前ですが、絶対値にはマイナスの値はありません。
もう少し考えれば、yはマイナスの値しかとらないのに、
|y|は常にプラスの値なのだから、|y|の値はyの±を逆にしたものになると気づくはず。
これを踏まえてもういちど考えてください。
x+2は-2≦x≦4の範囲だと
-2+2≦x+2≦4+2⇒0≦x+2≦6となります。
x-4は-2≦x≦4の範囲だと
-2-4≦x-4≦4-4⇒-6≦x-4≦0となります。
ここまで書けば、おのずと答えは分かるはず。
No.1
- 回答日時:
|x+2|=x+2 (x≧-2のとき) …… (1)
|x+2|=-x-2 (x≦-2のとき) …… (2)
|x-4|=x-4 (x≧4のとき) …… (3)
|x-4|=-x+4 (x≦4のとき) …… (4)
上記の各条件には、あえてすべて等号を付けてあります。
今回考えるのは-2≦x≦4ですから、(1)と(4)の場合です。
よって、与式=x+2+(-x+4)=6
です。
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