No.5ベストアンサー
- 回答日時:
同時確率密度関数 f(x,y)=6(x-y) 0<y<x<1 とします。
(1)周辺確率密度関数は
f1(x)=∫[0,x] 6(x-y)dy=3x^2 ,0<x<1
f2(y)=∫[y,1] 6(x-y)dx=3(1-y)^2 ,0<y<1
(2)E(x),Sxx
xm=E[x]=∫[0,1] xf・1(x)dx=∫[0,1] 3x^3=3/4
E[x^2]=∫[0,1] x^2・f1(x)dx=∫[0,1] 3x^4=3/5
Sxx=E((x-xm)^2]=E[x^2]-xm^2=3/5-(3/4)^2=3/80
(3)E(y),Syy
ym=E[y]=∫[0,1] y・f2(y)dy=∫[0,1] 3y(1-y)^2=1/4
E[y^2]=∫[0,1] y^2・f2(y)dy=∫[0,1] 3y^2(1-y)^2=1/10
Syy=E((y-ym)^2]=E[y^2]-ym^2=1/10-(1/4)^2=3/80
(4)Cov(x,y)=Sxy
E[xy]=∫[0,1]∫[0,x] xy・f(x,y)dydx=∫[0,1]∫[0,x] 6xy(x-y)dydx=1/5
Sxy=E[xy]-mxmy=1/5-3/4・1/4=1/80
No.4
- 回答日時:
>∫[0,1]{∫[0,x]6(x-y)dy}dx=1
こう計算したということは、0<x<y<1ではなく、0<y<x<1と考えたということです。
繰り返します、定義されている範囲で確率密度関数は非負でなければいけません。問題を確認したほうが良いでしょう。
この回答への補足
ほんとにすいません。0<y<x<1が積分範囲でした。ぼくのミスで何度も答えていただいてすいません。期待値と分散の値だけ教えていただけないでしょうか?Yについての期待値、分散はそれぞれ1/4,3/80になりました。Xの分散が合ってるかわからないような値になってしまうので…
補足日時:2012/07/02 15:32No.3
- 回答日時:
問題のミスですね。
6(x-y)が6(y-x)の間違いか、あるいは0<x<y<1が0<y<x<1の間違いでしょう。いずれにしても、確率密度関数は非負でかつ、全領域で積分して1になる必要があります。
問題を(x,y)が0<x<y<1の時、f(x,y)=6(y-x) それ以外の時f(x,y)=0 とすれば、上記を満たします。
∫[-∞,∞]∫[-∞,∞] f(x,y)dydx=∫[0,1]{∫[x,1]6(y-x)dy}dy=∫[0,1]3(1-x)^2dx=1
周辺確率密度関数は
f1(x)=∫[x,1]6(y-x)dy=3(1-x)^2 ,0<x<1
f2(y)=∫[0,y]6(y-x)dx=3y^2 ,0<y<1
この回答への補足
元の問題のままで積分範囲を考えたら
∫[-∞,∞]∫[-∞,∞] f(x,y)dydx=
∫[0,1]{∫[0,x]6(x-y)dy}dx=1
となりました。
確率密度関数の条件を満たしているので、この積分範囲で周辺確率密度関数、期待値と計算していったら大丈夫ですか?
No.2
- 回答日時:
> 見直しましたがこれであってます。
であるなら、問題文が間違ってます。
> これ実は試験問題なんです。
試験問題であろうが間違いはあります。
(無論間違いがないようにチェックはしているでしょうが)
> もしこれで答えをだすならば分散が負であっても問題ないですか?
問題アリです。
「問題文に間違いがあるので解答できない」とでも書くか試験監督者にそう知らせるかすべきです。
分散が負のまま答えをだしたら、例え問題が間違っていたとしても、分散を理解していないと評価されます。
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