【様々の数列】

分母が６で分子が正の整数である既約分数を、
小さい順に並べた数列{an}とする。
このとき、a10は？
an=295/6のときｎは？
また、a120は？
{an}の初項から第120項までの和は？

答え
a10=29/6
n=99
a120=350/6
和 3600

解ける方いらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/16 09:24

＞分母が６で分子が正の整数である既約分数を、

＞小さい順に並べた数列{an}とする。
順に書いてみると、
1/6，5/6，7/6，11/6，13/6，17/6，19/6，23/6，……
1/6，5/6，１＋1/6，１＋5/6，２＋1/6，２＋5/6，３＋1/6，３＋5/6，……　だから、
奇数項＝｛（（ｎ＋１）／２）－１｝+（１／６）
偶数項＝｛（ｎ／２）－１｝＋（５／６）
＞このとき、a10は？
｛（１０／２）－１｝＋（５／６）＝４＋（５／６）＝２９／６
＞an=295/6のときｎは？
295/6＝４９＋1/6より、奇数項
（ｎ＋１）／２－１＝４９より、ｎ＋１＝１００，　ｎ＝９９
＞また、a120は？
｛（１２０／２）－１｝＋（５／６）＝５９＋（５／６）＝３５９／６

＞{an}の初項から第120項までの和は？
２×（０＋……＋５９）＋６０×（１／６）＋６０×（５／６）
＝２×（６０／２）×（０＋５９）＋１０＋５０
＝６０×５９＋６０
＝６０×（５９＋１）
＝３６００

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/15 18:17

既約分数は、分子が6以下の場合、1,5の二つのみ。

nを整数として分子が6n－5と6n－1のときに限る。

10項目はn＝10/2＝5、6n－1＝29
よって、10項目は29/6

295＝6*50－5より、99項目

a120の場合、6*60－1＝359
よって359/6

120項目までの和は、分子のみだとΣ[n＝1～60]{6n－1＋6n－5}＝Σ[n＝1～60]{12n－6}＝6n(n＋1)－6n(n＝60)＝6*60^2
したがって、6*60^2/6＝3600

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/07/15 18:04

6の約数（ただし1を除く）が2,3,6であることから、

{an}の分子には、6で割って1あまる数と6で割って5あまる数とが交互に現われる。
つまり、{an}の分子をbnとおくと、bn=1, 5, 7, 11, 13, 17, ...... となる。
nが奇数のときと偶数のときで場合分けする。
nが奇数のとき、bnの奇数項からなる数列{cm}ただしm=(n+1)/2
の一般項cm=1+6(m-1)=6m-5=3n-2
nが偶数のとき、bnの偶数項からなる数列{dm}ただしm=n/2
の一般項dm=5+6(m-1)=6m-1=3n-1
よって、{an}の分子は
nが奇数のとき3n-2、nが偶数のとき3n-1となる。

a10の分子=3×10-1=29
a10=29/6
anの分子が295ということは、6で割って1あまるのでnは奇数
3n-2=295よりn=99
a120の分子=3×120-1=359
a120=359/6
あれ？回答者さんが書かれた答えと違っているぞ…。まあいいか…。
とりあえずここまで。