指数関数。三乗根の中のマイナスが分かりません。

問。次の計算をせよ。

３乗根√（√１２５）　×　３乗根√（－２５）　÷　６乗根√５


答
－５


○乗根の中の－が処理出来ません。
計算したら、


｛（５＾３）＾（１/２）｝＾（１/３）　×　｛（-１）（５＾２）｝＾（１/３）　÷　５＾（１/６）
＝５＾（１/２）　×　（-５）＾（２/３）　÷　５＾（１/６）
＝５＾（１/３）　×　（-５）＾（２/３）


ここで計算が止まっています。
計算の途中でしたように、（-５）＾（２/３）＝（-１）＾（２/３）（５）＾（２/３）としたら
（-１）＾（２/３）の（２/３）は偶数なので１となり、答えは５になるのではないのでしょうか？

よく分からずにいます。
お手数ですが、ご意見。ご回答お願いします。

No.9 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/25 23:24

「三乗根」の定義を確認せずに

式計算だけが一人歩きするから、
混乱するのです。
一言に「三乗根」と言っても、
そう呼ばれる関数には、いくつかの
種類があります。

No.8 回答者： suko22 回答日時： 2012/09/25 21:41

＃４です。

｛（-1）（5＾2）｝＾（1/3）＝（-1）＾（1/3）*5＾（2/3）となります。

（-1）＾（1/3）＝-1

この部分。ちょっと考えてみたんですけど、
３乗根√（－２５）って(-25)^1/3って書きましたけど、これって3乗根の中が負の数の時には普通にはこのように書かないですよね？（教科書確認してみてください）

定義域を複素数の範囲まで拡張すれば3乗根の中が負数でもa^(1/n) = n√a（aのｎ乗根）は定義できますけど、高校の教科書では確かa>0で上式が定義されていたと思います。

そうすると上記のような指数法則を使ってもいいのか？なんかよくわからなくなってきました。

3乗根√-25は虚数解まで含めると、3個答えでます。

定義域を実数の範囲に決めるなら、3乗根√（-25）＝-1*（5＾2）＾（1/3）＝-5＾（2/3）となるのでしょうけど、上記の私の回答のように、｛（-1）（5＾2）｝＾（1/3）＝（-1）＾（1/3）*5＾（2/3）のように指数法則を使っていいのかが？？です。

すみません。ちょっと混乱してきました。＃４の回答を一旦撤回します。

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/25 19:31

三乗根って、よく知られているものだけでも三種類あるんです。

[1] 実三乗根関数：定義域は非負実数のみ。実数値をとる。
[2] 複素三乗根関数：定義域は複素数全体。三つの値を持つ多価関数。
[3] 実三乗根関数のバリエーション：定義域は実数全体。実数値をとる。

[1] の立場では、
((-5)^2)^(1/3) = 5^(2/3) だが ((-5)^(1/3))^2 は定義されないので、
(-5)^(2/3) と書いてどちらのつもりなんだか、注釈が必要です。
注釈なしでは、式が意味を持ちません。

[2] の立場では、
注釈不要で、(-5)^(2/3) は -(5^(2/3)), -(5^(2/3))ω, -(5^(2/3))ω^2
ただし ω = e^((2/3)πi) という三つの値を持ちます。
多価関数なので、値はひとつに決まりません。

[3] の立場では、
(-5)^(2/3) = -(5-(2/3) です。
一般に x < 0 のとき x^(1/3) = -|x|^(1/3) となります。
この x^(1/3) は、x = 0 では微分不可能だけれど、全実数で連続な、
三乗の逆関数になっていて、奇妙な関数だけれど、便利に使える場面もあります。

そもそも、どの「三乗根」の話をしているのか、
式を書く前提としてハッキリさせておく必要があります。
それは、もとの式を書いた人の責任です。

No.6 回答者： chie65535 回答日時： 2012/09/25 11:33

＞（-１）＾（２/３）の（２/３）は偶数なので１となり、答えは５になるのではないのでしょうか？

根本的な部分で間違っているので、そこだけ指摘。

元が「３乗根√（－２５）」なのだから「３回同じ数を掛けたら－２５になるもの」です。

(－ａ)×(－ａ)×(－ａ)＝－（ａ^３）

ってのは判りますね？

(－ａ)×(－ａ)×(－ａ)＝－１×－１×－１×ａ×ａ×ａ＝(－１^3)×（ａ^３）＝－１×（ａ^３）＝－（ａ^３）

ですからね。同様に

(－ａ)^(１/３)×(－ａ)^(１/３)×(－ａ)^(１/３)＝－（ａ^(３/３）＝－ａ

ってのも判りますね？でしたら

(－２５)^(１/３)×(－２５)^(１/３)×(－２５)^(１/３)＝－（25^(３/３））＝－２５

ですよね？

(－２５)^(１/３)×(－２５)^(１/３)×(－２５)^(１/３)＝－（25^(３/３））＝－２５

の場合の「(－２５)^(１/３)」を「(－５）^(２/３)」と書き換えてはいけません。

「(－２５)^(１/３)」は「(－（５^(２/３)）」であって「(－５）^(２/３)」とは違います。

「(－（５^(２/３)）」は「３乗して平方根を取ったら５になる物に－１を掛けた物」です。

値は、だいたい-2.92401773821287くらいです。

「(－５）^(２/３)は」は「３乗して平方根を取ったら－５になる物」です。

「平方根を取ったら－５になる物」つまり「２乗すると－５になる物」は虚数です。実数ではなくなってしまいます。

符号を外に出すタイミングを間違うと、正しい解は求まらないので注意しましょう。

No.5 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/09/25 11:28

計算に間違いがあります．

｛（５＾３）＾（１/２）｝＾（１/３）×｛（-１）（５＾２）｝＾（１/３）÷５＾（１/６）
＝５＾（１/２）×（-５）＾（２/３）÷５＾（１/６）　　　←　←　間違い！
＝５＾（１/３）×（-５）＾（２/３）


以下のように計算します．

｛（５＾３）＾（１/２）｝＾（１/３）　×　｛（-１）（５＾２）｝＾（１/３）　÷　５＾（１/６）
＝（５＾３）＾（１/６）｝×（－１）＾（１/３）×（５）＾（２/３）÷５＾（１/６）
＝（５＾２）＾（１/６）｝×（－１）×（５）＾（２/３）
＝（５＾２）＾（１/６）｝×（－１）×（５＾２）＾（２/６）
＝（５＾２）＾（３/６）｝×（－１）
＝（５＾２）＾（１/２）｝×（－１）
＝ ５×（－１）＝ －５

となります．

No.4 回答者： suko22 回答日時： 2012/09/25 10:54

＞計算の途中でしたように、（-５）＾（２/３）＝（-１）＾（２/３）（５）＾（２/３）としたら

＞（-１）＾（２/３）の（２/３）は偶数なので１となり、答えは５になるのではないのでしょうか？

途中計算の誤りがあります。
＞｛（５＾３）＾（１/２）｝＾（１/３）　×　｛（-１）（５＾２）｝＾（１/３）　÷　５＾（１/６）
＞＝５＾（１/２）　×　（-５）＾（２/３）　÷　５＾（１/６）

第二項目
｛（-1）（5＾2）｝＾（1/3）＝（-1）＾（1/3）*5＾（2/3）となります。

（-1）＾（1/3）＝-1

あとは5＾に揃うので指数計算するだけです。

No.3 回答者： chie65535 回答日時： 2012/09/25 10:49

｛（５＾３）＾（１/２）｝＾（１/３）　×　｛（-１）（５＾２）｝＾（１/３）　÷　５＾（１/６）

＝５＾（３×（１/２）×（１/３））　×　（-１）（５＾（２×（１/３））　÷　５＾（１/６）
＝－（５＾（３×（１/２）×（１/３））　×　（-１）（５＾（２×（１/３））　÷　５＾（１/６））
＝－（５＾（１/２）　×　５＾（２/３）　÷　５＾（１/６））
＝－（５＾（１/２）＋（２/３）－（１/６））
＝－（５＾（３/６）＋（４/６）－（１/６））
＝－（５＾（（３＋４－１）/６））
＝－（５＾（６/６））
＝－（５＾１）
＝－（５）
＝－５

No.2 回答者： suz83238 回答日時： 2012/09/25 10:44

＝５＾（１/３）　×　（-５）＾（２/３）

=5^(1/3)×5^(2/3)×-1
=5^(1/3+2/3)×-1
=5×-1
=-5

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2012/09/25 10:20

３乗根√（－２５）

＝３乗根√（（－1）・（２５））
＝３乗根√（－1）ｘ３乗根√（２５）
＝-３乗根√（２５）
です。