高校数学 連立漸化式です。

連立漸化式
x_(n+1)=3x_n+2y_n…(1)
y_(n+1)=5x_n+2y_n…(2)
について、y_n-x_nをnを用いて表せ。

という問題です。
この問題を解いてください。
(本当は、これはある問題の一部分で、漸化式は一次変換等の条件から求めたものです。漸化式立式までは計算し直したのであっているはずです。)

自分では、(2)-(1)をしたり、
(1)をy_n=～と変形し(2)に代入したり
いろいろ式をいじったのですがなかなか上手くいきません。

よろしくお願いします。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/08 19:32

(1)(2)より y_(n+1) - x_(n+1) = 2 x_n だから、

x_(n-1) を直接求めてしまえばいい話なんじゃないの？

あるいは、(1)より x_(n+1) = 5 x_n + 2(y_n - x_n)
とでもして、x_n と y_n じゃなく、
y_n - x_n と x_n の連立漸化式で考えるとか。そのとき
y_n - x_n を消去して x_n の三項漸化式にしてしまうと、
直接 x_n を求める式と全く同じになってしまうから、
x_n のほうを消去して、見かけ上 y_n - x_n だけを求めた
ように書けばいいのかな？

本質的には、何も変わらんけど。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/08 11:06

いや, この質問文にある漸化式が正しい限りそれほどひねった方法はないんですよ.

y_(n+1) - x_(n+1) = α(y_n - x_n)
とかいう式が出てくるならともかく.

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/08 00:52

x_(n+1)-y_(n+1)=-2x_n

5x_(n+1)-3y_(n+1)=4y_n

7x_(n+1)-5y_(n+1)=4y_n-4x_n

2x_(n+1)+5x_(n+1)-5y_(n+1)=4y_n-4x_n

2x_(n+1)に一番上の式を代入し、z_n=x_n-y_nと置けば、

z_(n+2)=5z_(n+1)+4z_n

これを解けばいい。


でも、x_(n+1)-y_(n+1)=-2x_n　なんだから、x_nを求めるほうが分かりやすい。

y_n=x_n+2x_(n-1)　と　x_(n+1)=3x_n+2y_n　から、
x_(n+1)=5x_n+4x_(n-1)

結局は同じ三項間漸化式を解くことになる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/07 23:48

x_n, y_n をそれぞれ求めればいいだけのこと.

この回答への補足

(1)をy_n=～と変形し(2)に代入し、三項間漸化式をつくることで、x_nとy_nとを直接求めることはできました。

が、問題の誘導に合わせて解きたいので質問しました。

言い忘れでした。

補足日時：2013/02/07 23:52