集合Xが与えられた時,Xの元の有限列全体を要素に持つ集合は,公理的集合論からはどのようにして,その存在が示されますでしょうか?
{X^n | n∈N}という集合の存在が言えるならば,和集合の公理から,
__∪{X^n | n∈N}
によって,Xの元の有限列全体のなす集合Z という物の存在が主張できるような気はしましたが,自身は全くありません。
また,昔,「ACを使わなければ,Zの存在は主張できない」という文章も見た事があるような記憶がぼんやりとあります。
何か役に立つサイト,テキストなどあれば御教示いただきたく思います。宜しくお願いします。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
「pがXの長さnの有限列」ってのは、ご質問にある通り
X^nの要素のこと、
つまり、うるさく言えば、
Xのべき集合のべき集合の中から「順序n対になっている要素(たとえばp=<a,b,c>={{a},{a,b},{a,b,c}})」という条件で分出した部分集合のこと、
と考えてもいいし、
{k | k=1~n}からXヘの関数p = {<k, p(k)>| k∈1~n}のこと、
あるいは
NからXヘの関数φ全体の集合において、「k=1~nでφ(k)どれもが一致している」という同値関係による同値類のこと、
など、いろいろ捉え方はできるでしょうが、いずれも、べき集合の公理と分出公理と自然数の全体Nがあれば作れましょう。なので、長さnの有限列の全体P(n)は構成できる。
ならば、おっしゃる通り、{P(n) | n∈N}だって定義でき、合併集合の公理を使って∪{P(n) | n∈N}。
もちろん、長さnで分類しなくたって、Xのべき集合のべき集合の中からイキナリ「列になってて長さn(n∈N)が存在するもの」を分出したっていいけど。
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