実数の収束と上限

ボルツァーノワイエルシュトラスの公理「上に有界な実数の空でない部分集合は、上限を必ず持つ」を認めた上で、
上に有界な単調増加実数列{a_n}が、
任意の正数εに対して、自然数Nがあり、n≧Nならば|a_n-z|<εを満たしている時(すなわち、{a_n}がzに収束する時)、
z=sup{a_n}である事を示したいのですが、示し方が分かりません。

ご教授頂けますと幸いです。

質問者からの補足コメント

• 背理法は考えたのですが、解法が思いつきませんでした。
  z<a_kとなる自然数kがあると仮定。
  {a_n}は上に有界な単調増加数列なので
  ワイエルシュトラスの公理からsup{a_n}が存在する。すなわち、任意の自然数rに対してa_r≦sup{a_n}である。
  
  あとは情報として自然数Nがありn≧Nならば|a_n-z|<εなので
  z-ε<a_n<z+εがありますが、持って行き方が検討つきません

    補足日時：2023/01/21 00:11

• ちなみに、∀n(a_n≦z)を示した上でzが最小であることも示す必要ありますよね？
  その時はw<zで∀n(a_n≦w)となるものがある仮定して矛盾を導く感じでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/21 17:01

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/22 09:03

No.1, 3。

コメントについて。
εがナンのために出てきてるんだかがお分かりでないのかな、と思いました。

> w<zで∀n(a_n≦w)となるものがある仮定して矛盾を導く感じでしょうか。

わざわざ仮定しなくてもいいです。w<zである任意のwを考える。（列がzに収束するんだから）「任意の正数εに対して」のεとして(z - w)より小さい正の値を選ぶと、あるNが存在して
　　∀m(m＞N ⇒ |a_m - z|＜ε＜(z - w))
である。だから
　　∀m(m＞N ⇒a_m＞w)
なので
　　∃m(a_m＞w)

　ついでに

> z<a_kとなる自然数kがあると仮定。

の方は、そう仮定すると、たとえば：
（列が単調増加だから）εとして(a_k - z)より小さい正の値を選べば、
　　∀m(m≧k ⇒ |z - a_m|≧|a_k - z|＞ε)
である。なので
　　(j≧N ⇒ |a_j - z|＜ε)
を満たすNは存在しない。だから列はzに収束しない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございますm(_ _)m
理解できました！

お礼日時：2023/01/25 09:26

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/21 00:38

> {a_n}は上に有界な単調増加数列なので

だからそこより先にいっても、zとの差は(a_n-z)より小さくならない。てことは、(a_n-z)より小さいεを選べば、zに収束しないことが示せる。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/20 23:01

とりあえず「何がいえれば z=sup{a_n} を示したことになるのか」をリストアップしてみてはどうだろうか.

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/20 23:00

背理法でも使って∀n( a_n≦z )を言えばいいだけ。

（って、これは「釣り」ってやつ？）