多項式の性質と無理数・有理数

多項式の証明問題です。
どこから手をつければよいかが分かりません。
どなたか教えていただければ幸いです。

(1) 1次以上の多項式f(x)であって, 任意の無理数に対して有理数の値を取るものは存在しないことを示せ.

(2) 2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ.

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/21 14:09

1)を No.1さんの論法で。

関数 f による集合 S の像を f(S)、
集合 S の濃度を #S と書くことにします。
S ⊂ T であれば、 #S ≦ #T です。

多項式関数 f(x) が定数関数でなければ、
lim[x→+∞] f(x) = +∞ または
lim[x→+∞] f(x) = -∞ ですから、
十分大きい実数 M をとれば
f(実数) ⊃ [M,+∞) または
f(実数) ⊃ (-∞,-M) が成り立ちます。
よって、
#f(実数) ≧ #[M,+∞) = 連続体濃度 または
#f(実数) ≧ #(-∞,-M) = 連続体濃度 です。
いづれにせよ
#f(実数) ≧ 連続体濃度 になります。

一方、もし f(無理数) ⊂ 有理数 が成立すると仮定すれば、
#f(無理数) ≦ #有理数 = 可算濃度 であり。
また、一般に #f(S) ≦ S であることから
#f(有理数) ≦ #有理数 = 可算濃度 なので、
#f(実数) = #f(有理数∪無理数)
　　　　≦ #f(有理数) + #f(無理数)
　　　　≦ 可算濃度 + 可算濃度
　　　　= 可算濃度
となり、前述と矛盾します。

よって、背理法により
f(無理数) ⊂ 有理数 となるような実多項式関数 f は存在しません。

No.1 回答者： funoe 回答日時： 2022/06/21 09:16

1)は、ｆが単調な区間Ｓがあって、ｆ：Ｓ→ｆ(Ｓ)は全単射で、

だから無理数から有理数への全単射があるなら矛盾って言えないかな？

でも、同じ論法では２）をヤッツけられる気がしない・・。