数を拡張するとはなんですか？ 拡張すると数学の中でそして科学の中で何ができますか？

数を拡張するとはなんですか？
拡張すると数学の中でそして科学の中で何ができますか？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2017/08/06 14:24

「数の拡張」という表現は、まず、自然数を拡張して整数を作る。

整数を拡張して有理数、有理数から実数、実数から複素数、四元数、八元数。という話でしばしば使われます。が、そんなものより重要じゃないか、と思われるのが「代数」（抽象代数）という考え方です。
　数と数を足し算すると数が出てくる。いろいろな演算によって数から別の数が出てくる。そこで、普通の意味での「数」にとらわれずに、「ある演算で操作される対象たち」である「数モドキ」を考える。これは対象と演算がセットになっているわけで、「代数系」と言います。（「代数」という名称は「数の代わりになる対象(数モドキ)を扱う」というほどのココロを表す、なかなか的確な用語だと思います。）
　最も身近なのは、多項式を対象とした代数系でしょ。この場合、多項式同士のかけ算足し算引き算の結果は多項式であるが、割り算をすると多項式とは限らない。つまり多項式を対象と考えれば、割り算がない体系です。これを「多項式環」と呼びます。かけ算の順番を変えても、また、かけ算の順番を変えても答が変わらないという性質も持っていますので、「多項式環」は「可換環」に分類される代数系です。行列もかけ算足し算引き算ができる代数系ですが、かけ算の順番が変えられない。これは「非可換環」に分類されます。物理学では、テンソルという代数系が必要不可欠です。
　考察したい現実の対象が普通の数では表しきれず加減乗除では組み合わせられない性質を持つとき、その対象を扱うのに便利な代数系をまず構築して、その上で数学を発展させる。その成果を現実の対象の考察に応用できるわけです。
　既に知られている代数系で間に合えばラクチンであって、たとえば「可換環」が満たす性質は何か、という研究が既にやってあるんで、その成果をすべて「多項式環」で利用できます。ですが、出来合いの代数系では表せない性質を持つ対象を扱いたいのなら、新たに代数系をこしらえるところからやらねばなりません。ま、大概のものは既に研究された代数系を応用して表せちゃうので、せっかく苦労して新たにこしらえたのに、実は教科書売ってました、なんてこともある訳ですが。
　で、こういった「代数系」が何の役に立つかといえば、現実の対象を旨く表せるようにカスタマイズして作った体系であり、だから表せる対象であれば予測や設計に利用できる。なんで役に立つかと言えば、役立つように作ったんだから役立つ、というわけです。
　何だよそれ、って文句言われそうですが、では元に戻って、普通の数がなんで役に立つか。
　たとえば「1リットルの水と1リットルのアルコールを混ぜたら何リットルか？」という問題を解くのに1+1=2では駄目ってこと、ご存知でしょうか。つまり、普通の数だって、それが現実の対象を旨く表せる場合にしか有効ではないんです。

No.2 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/08/06 10:19

＞数を拡張するとはなんですか

どこでそんな言葉仕入れましたか？。
数の定義を拡張・・・・・なら否定もしかねますが。

No.1 回答者： 特殊相対 回答日時： 2017/08/05 14:53

？数を拡張したら、

さあ、素数の並びが宇宙の大法則に繋がるとか