等差×等比 型の数列の和を求める時、 S ‐ rS を考えると良いのはなぜですか？ 解き方は分かった

等差×等比 型の数列の和を求める時、
S ‐ rS を考えると良いのはなぜですか？

解き方は分かったものの何故なのか頭の整理が追いつきません。
そういうものだと暗記するべきですか？

分かりづらいとは思いますが一応、、画像が今やっている問題です。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/17 02:57

S = 1・2^0 + 2・2^1 + 3・2^2 + ... + n・2^(n-1)

という単純なケースだと
S =
2^(n-1)+
2^(n-1)+2^(n-2)+
(中略)
2^(n-1)+2^(n-2)+...+2^2+2^1+
2^(n-1)+2^(n-2)+...+2^2+2^1+2^0
とバラした上で横に足し算するって技もある.

余裕があるなら「等差数列×等比数列の和だから公比を掛けてど～たらこ～たら」ではなく
一般項が多項式で表される数列では階差数列を考えると次数が 1つ減る
とか
「多項式×指数関数」という形の和では「多項式」の部分の次数を減らすのが有効
とかいけるといいかなぁ... さすがに母関数はやりすぎかもしれん.

この回答へのお礼

「多項式の数を減らす」
めちゃめちゃ分かりやすいです！ありがとうございました！

お礼日時：2021/02/22 21:29

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/16 08:38

暗記する必要があるかどうかは別として、

この解法の理由は、写真の過程を見て
そういうもんだと納得するしかないと思う。

S ‐ rS が等比数列になることは
S を求める上で非常に鮮やかだが、
巧妙過ぎて何の応用も教訓も生まない。
等差×等比 のときに使える... で終わってしまう。
むしろ、この解法が有名だから 等差×等比 の和を
求める問題がテストに出るということでしかない。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/02/22 21:28

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/16 01:47

等差数列の隣接する項の差は定数だから.

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/02/22 21:27