写真の問題についての、 写真の赤枠で囲ってある部分の「衝突の時間間隔は公比eの等比数列をなす」と書い

写真の問題についての、
写真の赤枠で囲ってある部分の「衝突の時間間隔は公比eの等比数列をなす」と書いてあるのですが、
なぜ公比eの等比数列と言えるのですか？
また、衝突距離とはなんですか？
写真1番上の問題文 「なめらかな水平面上の点Aで角θの方向に初速v0で投げだした。水平面との最初の衝突点をB、2度目の衝突点をCとする。BC間の距離を求めよ」
ちなみに、この問題は物理のエッセンス(赤)のP14の11番です。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2022/08/02 15:48

速度の鉛直成分ｖで跳ね上がった物体は戻ってくるまでの時間（衝突時間）

はｔ＝2ｖ/ｇです。戻ってきて再び鉛直成分ｖ’で跳ね上がった物体が
またもどるまでの衝突時間はｔ’＝2ｖ’/ｇです。
ところがｖ’＝ｅｖという関係があるのでｔ’/ｔ＝ｖ’/ｖ＝ｅ
つまりある衝突時間のすぐ前の衝突時間に対する比はｅで一定です。
また物体の速度の水平成分はｖ0cosθでいつも一定だから
ｔ’の間の物体の水平移動距離（衝突距離）(ｖ0cosθ)ｔ’と
その直前の衝突距離(ｖ0cosθ)ｔの比はｔ’/ｔ＝ｅでこれも一定です。
衝突時間、衝突距離が公比ｅの等比数列的に変わるとはこういう意味です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/02 00:25

問題文に「何を」投げだしたのかを書いてないのは、出題者の日本語能力の不足なんだろうなあ。

しかもどんな衝突か、どんな条件で跳ね返るのかについて何も書かれていない。
「ひどい問題」だと思う。

床に衝突したときに、ボール（たぶん）に働く力が「床に垂直」な方向だけであると仮定すれば、水平方向の速度は一定のまま。
だとすれば、衝突から次の衝突までの条件は「鉛直方向への跳ね返り方」で決まり、それは「反発係数 e」によって決まる。
「反発係数」によって決まるのは、跳ね返るときの「初速度」なので、それによって次に床に落下するまでの時間が決まる。
水平方向には一定速度なので、「次に床に落下するまでの時間」と水平方向に進む距離とは比例する。

この「次に床に落下するまでの時間」が「衝突の時間間隔」、その間に水平に進む距離が「衝突距離」ということなのでしょう。

赤で囲ったところも、e=1 だったら「永遠に同じ跳ね返り方を続ける」ことになってしまうので、e<1 のときに「だんだん跳ね返り高さが低くなってくる」、その跳ね返り高さが「公比 e^2 の等比数列」、「次に床に落下するまでの時間 = 衝突の時間間隔」および「次に床に落下するまでに進む距離」が「公比 e の等比数列」となります。