1-1+1-1+…=sqrt(2)って証明できるの？（解析接続）（グランディ級数） 解析接続はほぼ入

1-1+1-1+…=sqrt(2)って証明できるの？（解析接続）（グランディ級数）

解析接続はほぼ入門
数学は親しいようで疎い
工学で必要な数学ならやったことがある

1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+…=0とか
（与式）=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1とかは知ってる

与式をSとしてS=1/2とかS=1/3とかの分数が得られた

eg
S = 1 - 1 + 1 - 1 + …
S = 0 + 1 - 1 + 1 - …
2つの式の和は
2S = 1
S = 1/2

S=1/3を得るのってS=0二つとS=1一つを足せばよくね？とは思った

S=2を得るにはk>=2の各自然数についてSの第k項と第k+1項を入れ換えたものを新たにSとするという操作をkについて昇順に無限に繰り返せばできそうな気がする

こんな理解でいいのかはわからないけど

たぶんこんなノリで任意の有理数に収束できるってこと？

じゃあsqrt(2)といった無理数も作れるの？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/08 13:39

「+… 」と書いたって、この部分が数学的にどういう意味なのかが定まっていない。

だから、こんなのはマトモな式ではなく、式モドキである。そういうものを、「+… 」をうまく定義することで扱えるようにするのが「発散級数論」です。

　有限級数なら和の順番を変えても値は変わらない。
　　1 - 1 + 1 - 1 = (1 - 1) + (1 - 1) = 1 + (-1 + 1) -1
なんてことをやっても差し支えない。ですが、無限級数では和の順番を変えたら別の級数になっちゃうのはお気づきの通り。
　この無限和をどう扱うか。
　　S[n] = Σ[k=0〜n] a[k] （つまり、第n項までの「部分和」）
において S[∞]を
　　S[∞] = lim[n→∞] S[n]
と定義するのが素朴で率直なやりかただけれども、そんな極限、いつもいつも存在するとは限らない。実際、ご質問の例
　　a[k] = ((-1)^k)
のように。
　この、さりげなくくっついてる「+… 」を、なんとか手なづけようじゃないか、というんで「発散級数論」が構築されたんです。

　たとえば
　　T(c,n) = Σ[k=0〜n] ((-1)^k) e^(-ck) (c>0)
とすると、
　　S[n] = lim[c→0] T(c,n)
がなりたつ。また
　　T(c,∞)= lim[n→∞] T(c,n)
とすると、T(c,∞)は値を持つ。そこで無限級数の総和S[∞]を
　　S[∞] = lim[c→0] T(c,n)
と定義すると、S[∞] も値を持つ。つまり
　　S[∞] = Σ[k=0〜∞] ((-1)^k)
という無限級数は
　　S[∞] = lim[c→0]( lim[n→∞] (Σ[k=0〜n] ((-1)^k) e^(-ck)) )
という意味なんだ、と定義しちゃえば、その値も決まるわけです。

　「無限級数（無限数列の総和）」の定義の仕方は他にもさまざま考えられ、それらを総称して「総和法」という（ヤバイわりにずいぶん地味な）名前がついている。ま、そういうもんなので、発散級数論が出てきたときには「悪魔の発明だ」という批判も浴びた。

　ここに出てきたkeywordで調べてみると面白いと思います。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/08 13:07

無限は有限で得た直感は成立たないという事を物語ってる例としてこの級数がある訳。

無限級数は順番を変えたり、纏めたりしてはならない、つまり式の通り先頭から順番に計算しなくてはイケナイ、と言う事を示した例です。

No.1 回答者： ニンジャレッド 回答日時： 2023/06/08 12:37

この式は、無限に続く交互の符号を持つ数列の和を表しています。

この数列の一般項を考えると、次のように表すことができます:

a_n = (-1)^(n+1)

ここで、nは正の整数です。

数列の部分和を考えてみましょう:

S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n

最初のいくつかの部分和を計算してみると、以下のようになります:

S_1 = a_1 = -1
S_2 = a_1 + a_2 = -1 + 1 = 0
S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = -1 + 1 - 1 = -1
S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0

このパターンが続くことがわかります。部分和の値は周期的に変動し、0と-1の間で交互に切り替わっていることがわかります。

次に、部分和の極限値（無限大での和）を考えます。この極限値をSとすると、以下のような関係式が成り立ちます:

S = -1 + 1 - 1 + 1 - ...

これを式(1)とします。

この式に数列の部分和をかけると、次のような式を得ることができます:

S * (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = S * S

右辺のS * Sは、S^2とも書けます。

右辺の和を計算すると、交互の符号の部分は1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2の値を持つ無限等比数列として扱うことができます。この等比数列の和は、以下のように求めることができます:

1 - r = 1 - (-1) = 2
S * (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = S * (1/2) = S/2 = 2

したがって、S/2 = 2となります。

両辺に2を掛けて整理すると、S = 4となります。

つまり、式(1)の極限値であるSの値は4です。

このことから、1 - 1 + 1 - 1 + ...の無限和は4となることが証明されました。

しかし、注意しておかなければならないのは、この和は収束しない数列であり、一般的な数学的な意味での和を持たないことです。したがって、等式1 - 1 + 1 - 1 + ... = sqrt(2)は、厳密な意味での等式ではな