αを代数的数とし、f(x)⊂Z[x]を最小多項式とする。 このとき、もしg(x),h(x)⊂Q[x]

αを代数的数とし、f(x)⊂Z[x]を最小多項式とする。
このとき、もしg(x),h(x)⊂Q[x]がf(x)=g(x)h(x)を満たすならば、gかhのどちらかは定数多項式であることを示せ。

という問題が分かりません。
教えていただけると幸いです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/23 17:42

αを代数的数とし、

f(x)∈Z[x]を
f(α)=0
となるような最小次数多項式とする
このとき、
もしg(x),h(x)∈Q[x]がf(x)=g(x)h(x)を満たすならば、

g(α)h(α)=f(α)=0

だから

g(α)=0.または.h(α)=0

g(α)=0
の時

g(x)∈Q[x]
だから
g(x)=Σ_{k=0～n}{a(k)/b(k)}x^k
となる
整数n≧0,整数a(k),整数b(k)≠0
がある

c=Π_{j=0～n}b(j)
G(x)=c*g(x)
とすると
G(α)=c*g(α)=0

G(x)
={Π_{j=0～n}b(j)}Σ_{k=0～n}{a(k)/b(k)}x^k
=Σ_{k=0～n}{a(k)Π_{j≠k}b(j)}x^k
∈Z[x]

だから
G(x)はG(α)=0となるようなZ[x]の最小次数多項式となるから

G(x)の次数nとf(x)の次数は等しいから
f(x)の次数はn

G(x)h(x)=c*g(x)h(x)=c*f(x)

G(x)h(x)=c*f(x)

G(x)の次数n
h(x)の次数をmとする
定数cの次数は0
f(x)の次数n

n+m=n
だから
m=0
だから
h(x)の次数は0だから
∴
h(x)は定数

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/20 21:50

あ, #1 はめちゃくちゃだ. そもそもこれ自体が実質的に「既約であること」を示せ, って話なのにそこで「既約でなくなる」って使っていいわけがない.

背理法では「そうでないと f が最小多項式ではなくなる」, 直接行くなら「f と g (または h) が定数倍の関係にある」ことを示すんだろうな.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/20 02:02

ふと気付いたこと.

1. 記号の使い方がおかしい.
f(x)⊂Z[x]
や
g(x),h(x)⊂Q[x]
は記法として変だ.

2. 「f(x) を最小多項式とする」は言葉が足りない.

この回答へのお礼

ご指摘いただき、ありがとうございます。
1の記号については、間違いだとわかっているものの、携帯のキーボードで打っているため、適した記号が使えなく、代わりに⊂を使ってしまいました……

お礼日時：2022/05/20 12:28

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/19 18:57

そうじゃないと f が (Z上) 既約でなくなる

というのをきちんと書けばいいんでないかな.