微小量とはいったいなんでしょうか。

Question

こんにちは。
現在理工学部の一年生のものです。
物理や数学に興味があり、専門書を読みあさっているのですか、
「微小量」
というものがいまいちつかめません。


つまり
無視できないときと、無視できるときの違いは何なのでしょうか？
Δ○→d○になるときとならない時の違いは？
定義は何なのでしょうか？
微小量について体系的に学ぶためにはどうすれば、またどのような参考書がよろしいでしょうか。

具体的な問題を出したほうがよろしいのかと思いますが、あまりにもさまざまな本であらわれてくるのでまとめて質問いたしました。

どなたかよろしくお願いいたします。

sugakusya · Accepted Answer

こんにちは。理系の大２です。

＞定義は何なのでしょうか？
　限りなく0に近い値がd○、ある程度小さいがただ小さいだけで、限りなく小さいということはない場合Δ○と書き、Δ○は具体的な値として存在する。大小関係ではΔ○＞d○＞0となる。d○と0の大小関係が「≧」でないことに注意。
例　(Δt→+0)　1/Δt=∞ だが、1/0　は考えない。

＞無視できないときと、無視できるときの違いは何なのでしょうか？
＞Δ○→d○になるときとならない時の違いは？
　上に書いた事からΔ○を限りなく0に近づけるときΔ○→d○→0と移り行くと考えて間違いではない。ただしあくまでd○≠0。
　Δ○を限りなく0に近づけるとき、それはもはやΔ○ではなく極限値d○であり、計算結果に支障をきたさないとき0と書き、d○＝0のように扱う。したがってひとまずd○と書くことができる。
　次にd○がどのようなところに書かれているかに注目するとd○と書くべきか、0と書くべきかが判断できる。ここの判断については回答#1がかなりわかりやすいと思うのでそちらに譲る。また判断できないときはそのままd○と書いておく事も間違いではない。ただし同じ変数は同じ時に0にしないと計算結果が異なることがある。
　つまり、質問の答えは無視できるときは0と書くことが可能な時、d○と書くときは0と書くことができないときである。
(核心は他人任せですいません。)

＞微小量について体系的に学ぶためにはどうすれば、またどのような参考書がよろしいでしょうか。
　おそらく数学数学した本では大抵の場合、説明するだけ説明し、当然の様に使用されると思います(多分)。案外噛み砕いたような表現の本がいいかもしれない。

sparrow32h · Answer

x→+0の極限について考えてみます。
微小量というのはxの関数になるわけですが、まず「関数のオーダー」について説明します。
lim[x→0]f(x)/g(x)=0 のとき、f(x)=o(g(x)) と表し、f(x) は g(x) より高次の無限小であるといいます。
また、0<x<ε で f(x)/g(x) が有界である（無限大ではない）とき、f(x)=O(g(x)) と表し、f(x) は g(x) によって抑えられる、または単に、f(x) は g(x) のオーダーであるといいます。
f(x) = f1(x) + f2(x) としたとき、
f2(x) = o(f1(x)) の場合、f2(x) は微小量（高次の無限小）であり、f(x) の極限値を求めるときに無視することができます。
ここで一つ注意が必要なのは、f2(x)が有限値、あるいは無限大であったとしても、f1(x)がより高次の無限大であったら、f2(x)は微小量であるという点です。
また、f(x)が微分可能ならば、
f(x) = f(0) + f^1(0)x^1/1 + … + f^n(0)x^n/n! + o(x^n)またはO(x^(n+1))
となり、最後の項がx^(n+1)のオーダーの微小量です。

htms42 · Answer

微少量という取り扱いは
微分量の関係を知りたい時にやる操作だと思います。
微分量の関係から得られた微分方程式が解ければ関数形がわかりますが解けるとは限りません。
力学の運動方程式でも熱力学、流体力学でも同じような操作をやっていると思います。

ringohatimitu · Answer

よく物理などで現れる（数学でも現れますが）無視できる量というのは状況に応じて変わってくると思います。よくあるのは２次以上の項は無視出来るとかですね。微小変化が問題になってる場合はおそらく大抵の場合テイラー展開が根本にあるはずです。要するに何らかの微分を考えてると思われます。たとえばある量x,y(x)についてΔxの変化でy(x)がg(x)Δx+h(x)(Δx)^2だけ変化することが分かったとしましょう。これはy(x+Δx)-y(x)=gΔx+h(Δx)^2を意味していますが両辺を比べるときに実は「概ね」(Δx)^2の項は無視してもよいのです。というのは両辺をΔxで割ったときにhの項にはまだΔxが残りますね？したがってΔx→0とすれば消えてしまうからです。一方左辺はy'(x)、右辺はgですからy'=gが得られるわけです。このように「目的に合ったある式変形の後」、変化→0という極限操作において消えてしまう項は一般に「無視できる」と言われるのだと思います。

テイラー展開など十分に理解して自分なりに数学的に論理の穴を埋めていけば慣れていくと思います。

cosmos-kt · Answer

何系なのか・・分からなくなってきて困っている、普通のおじさんです。
基本的なことは、古い本ですが、高木貞治の「解析概論」の最初の方に、「数の連続性」という項目があり、ここで詳細に議論しています。

最終的には、微少量とは、関数の連続性との兼ね合いになります。特に、その本の41ページの付記に、丁度・・質問されている微少数もしくは無限小という項目があり、詳細に解説が出ています。

つまり、独立変数のある一定の変動に伴って、「0に収束する変数」を微小数もしくは無限小という・・。なお、括弧書きは、著者がアンダーラインで強調している箇所。

関数を考えてみれば分かると思うのですが、各パラメータは独立変数として扱って良いわけですから、そのときに「その変数が収束する条件として、Δtやｄｘなどとして表すわけです」。

後は、もう少し突っ込んだ説明が必要だとしたら、解析学の教科書あたりをお勧めしましょう。

sanori · Answer

こんばんは。理系のおっさんです。

私のこれまでの経験からですが、
ｔ＋Δｔ
とは書くけれども
ｔ＋ｄｔ
とは書かない。

なぜならば、ｄｔは、ほぼゼロだから、
ｔ＋ｄｔ　＝　ｔ
のようになってしまうし、
∫（ｔ＋ｄｔ）
とも書けない。

ただし、
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ
と書けるし、
ｖ　－　ｄｘ／ｄｔ
とも書ける。
それは、ｄｘ／ｄｔ　は、ある程度の大きさを持っていて、
やはりある程度の大きさを持つｖと対等に勝負できるから。

そして、
（私が大学時代に習ったことですが）
ｄｘ　と　（ｄｘ）^2　は、対等に扱うことはできない。
ｄｘ　＋　（ｄｘ）^2　＝　ｄｘ　＋　０　＝　ｄｘ
なぜならば、ｄｘは微小であるから、微小の２乗である（ｄｘ）^2　は、ゼロと見なせる。


定義自体は知りませんが、上記のような理解で今まで困ったことはありません。

ご参考に。

微小量とはいったいなんでしょうか。

こんにちは。

x→+0の極限について考えてみます。

微少量という取り扱いは

よく物理などで現れる（数学でも現れますが）無視できる量というのは状況に応じて変わってくると思います。

何系なのか・・分からなくなってきて困っている、普通のおじさんです。

こんばんは。

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