多様体について質問です。 Rを実数全体としてf:S^n＝{(p_1,…,p_(n+1)∈R^(n+1

多様体について質問です。
Rを実数全体としてf:S^n＝{(p_1,…,p_(n+1)∈R^(n+1)|(p_1)^2+…+(p_(n+1))^2＝1}→R ; (p_1,…,p_(n+1))→p_(n+1)
の臨界点と最大値、最小値を求めたいのですが、具体的な示し方が分かりません。

というのも、臨界点の定義から全部の方向の偏微分が0になればいいので北極と南極、(0,…0,1)と(0,…0,-1)でとるだろうということは分かっているのですが、それを真面目に示す方法がよく分からないのです。

多様体は学び始めたばかりで初歩的な質問になってしまいますが、この臨界点が本当に上に挙げた2つだということを示す方法を教えてください。

最大値、最小値についても臨界点と共にここ1週間考え続けたのですが何も進まず心が折れたので助けてください…
最大値最小値については現状1,-1になるはずだということ、多分ラグランジュの未定乗数法を使うんだろうということまでは考えています。ただ、多様体の本に書かれてる未定乗数法が私が微積の時に学んだものと書き方が違って（多様体でよく見る記号になってる？）上手く計算が出来ず1,-1になってくれず止まってます。

長いですがどうぞよろしくお願いします。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/24 09:19

この場合は、難しく考える必要は無いと思います。

1.
　p[n+1]=±√[1-(p₁²+p₂²+…+p[n]²)}
だから
　|p[n+1]|≦1
は自明。
　そして
　p[n+1]=±1 ⇔ p₁=p₂=…=p[n]=0
も自明。

2.
ラグランジュなら
　f=p[n+1]
　g=p₁²+p₂²+…+p[n]²-1=0
として
　0=2λp₁=2λp₂=…=2λp[n]
　1=2λp[n+1]
なので
　p₁=p₂=…=p[n]=0
g=0 に入れて
　p[n+1]=±1
という停留点を得る。

これが極値になるのは縁付きヘッセの行列を使う方法もあるが
面倒で確実でもないので、
「有界閉集合上の連続関数は必ず最大最小を持つ」

という定理と、今回の
「境界が無い領域上の微分可能な関数の最大最小は停留点(極
値)となる」

から上の停留点が最大最小とわかり、その大小によって判定
すれば自明。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2023/06/24 08:46

貴方の「真面目」というのは定義に沿ってという事なのだろうから、貴方がどのような定義を使ってるのか分からない事には何も言えるありませんよ。

どう定義されているにせよ定義をなぞるだけなのだろうとは思いますが、
具体的に計算をしたいのなら、まずはアトラスを設定しなければ何も始められません。貴方はS^nに対してどのようなアトラスを設定したのでしょうか？

もしも一般の次元が難しければS^1(円周)やS^2(球面)などから始めて見ても良いと思います。