対称式の最大，最小

「f(x,y)がx,yについて対称式の時に，f(x,y)　の最大値および最小値があればそれはx=yのときである。」

ということはいえるでしょうか。
質問文が厳密ではないかもしれませんが，意味をくみ取っていただけたらと思います。

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2002/06/20 00:27

それは必ずしもいえません。

（反例）f(x,y)=(x+y+1)^2
→x+y=-1を満たすすべての(x,y)で大域的最小となる。

この回答への補足

すいません。

「f(x,y)がx,yについて対称式の時に，f(x,y)　の最大値および最小値についてはx=yのときを考えれば十分である。」

というような感じに訂正させてください。
x=yの時の最小値がf(x,y)の最小値に一致するというように。

補足日時：2002/06/20 00:47

No.2 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/20 01:03

厳密な話はさておいて, 直観的に誤りと理解できる例を.

曲線f(x,y)=0がx,yの対称式で書けるとき, グラフは直線y=xに関して対称です.
すると原点に関して+45度回転したと思うと, Y軸対称なグラフになります. これが
Y軸上で最大or最小となるかが問題です.
Y軸対称な例
1)y=x^2+3は, 最大値はなしで, 最小値3を確かにY軸上(x=0)の点でとる.
2)しかし4次関数y=x^4-2x^2+1 は, 最大値はなしだが, 最小値0をY軸上でない点(x=±1)でとる.

もちろん，グラフが具体的にかけない抽象的な場合でも，本質的には同じ結果になることは推察できるでしょう．
結局, 関数の(グラフの)対称性と最大・最小は一般には無関係です，

ただし，積極的にいえることがあるとすれば，「偶関数ｙ＝f(x)に最大値および最小値を与える点が存在すれば，それはY軸上にあるか，またはY軸に関して対称な配置で必ず存在する．」ということで, 元の問題でいえば，「（あるとすれば）直線ｙ＝ｘ上か，またはｙ＝ｘに関して対称な配置で現れる．」ということです．証明は，もちろんf(x,y)=f(y,x)より明らかですね．[2点(α，β)<-->(β, α)の置換に対し不変より．）

No.3 回答者： seven_triton 回答日時： 2002/06/20 02:02

Oshiete_gooさんへ。

＞Y軸対称な例
＞1)y=x^2+3は, 最大値はなしで, 最小値3を確かにY軸上(x=0)の点でとる.
＞2)しかし4次関数y=x^4-2x^2+1 は, 最大値はなしだが, 最小値0をY軸上でない点(x=±1)でとる.

の記述はおかしいのではないでしょうか。いまはf(x,y)という風に２変数の関数の最大・最小を考えています。上の２つの例はともに１変数の関数についてのことなので，反例にはなっていません。

No.4 回答者： seven_triton 回答日時： 2002/06/20 02:05

あ，それから質問にたいしてですが，やはりこれは一般には成り立ちませんね。

反例は一番下の方のでよいです。

No.5 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/20 02:47

[No.2の例の書き換え]

4次関数 z=u^4-2u^2+1=(u^2-1)^2
でu=x-y, v=x+yとおくと
z={(x-y)^2-1}^2={x^2 -2xy +y^2 -1}^2
はx,yの対称式で, x-y=u=±1 のとき最小値0をとる. この時v=x+yは不定.(0も含め, 任意の実数を取りうる)

これはx-yが0でないときに最小値をとる例である.

No.6 回答者： seven_triton 回答日時： 2002/06/20 10:58

cos(x-y)を考えてみてください。

No.7 ベストアンサー 回答者： ranx 回答日時： 2002/06/20 18:08

> f(x,y)がx,yについて対称式の時に，f(x,y)　の最大値および最小値についてはx=yのときを考えれば十分である。

これも言えません。
f(x,y)=((x-y)^2-1)^2
とか。

この回答へのお礼

みなさんどうもありがとうございます。

でもこういう風なので何かありそうな気もするんですけどね。
ｘ－ｙの偶関数の形が含まれてなければ，とか・・・。

まあこんなことこれ以上質問してどうこうというものでもない気がしてきましたので，自分で考えてみようと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2002/06/21 23:50