大学物理に詳しい方に質問です。 ラザフォードたちが実験で知りたかったことは衝突パラメータbと原子核の

大学物理に詳しい方に質問です。

ラザフォードたちが実験で知りたかったことは衝突パラメータbと原子核の大きさ(運動している粒子がどれだけ接近するかr最小値)であったと思います。

運動している粒子の質量m
エネルギーE=mv^2/2は既知とします。
ポテンシャルエネルギーU=α/r
αは正の定数で無限遠方を基準
途中式は省略します。

r最小は衝突パラメータbを含む関数

bは散乱角θの関数でcotθ/2 (0≦θ≦π)を含む。

bはπで最小となりこれをr最小の式に代入して
r最小≒10^-14 [m]
知りたいr最小がわかった。 しかし新たに微分散乱断面積?、散乱角?を導入して
dσ=2πbdb、①
dΩ=2πsinθdθ ②(2式とも図の意味は分かります。)
微分の記号を分数みたいにして、
dσ=2πb|db/dθ|dθ③

dσ/dΩ =(α/4E)^2 (1/sinθ)^4④
σ=∫(0→π )(α/4E)^2 (1/sinθ)^4dΩ ⑤

①②を導入した意味を教えてください。
③絶対値をつけたわけはなんでしょうか。
④は何を意味してますか。
⑤この値は発散しますが、物理的にどういう意味がありますか。全断面積とは何か。
さらに、原子核を半径aの球 剛体と考えると⑤の値は有限(πa^2)になりますが何を意味してますか。
ラザフォード散乱が詳しく書かれている参考書をしりたいです。

いろいろ調べましたが、量子力学で詳しく扱うみたいですね。ネットではラザフォードの散乱公式の導出までしか載ってなかったです。大学一年で量子力学の知識は全くないです。問題のメインテーマは双曲線軌道とdΩ、dσが与えられていてラザフォードの散乱公式を導出してみるというものでした。

No.1 回答者： よろしくです。。。。。 回答日時： 2023/03/16 05:25

①は微分散乱断面積を表す式で、微小な衝突パラメータ b に対して微小な散乱断面積 dσ を与えます。

②は微小な立体角を表す式で、微小な散乱角 dθ に対して微小な立体角 dΩ を与えます。

③は微小な衝突パラメータ b と微小な散乱角 dθ の関係を表す式であり、微分の記号を絶対値で表すのは、微分した値が負になる場合にも式が成立するようにするためです。

④は微分散乱断面積と散乱角の関係を表すラザフォード散乱公式です。この式は、原子核が一点に集中している場合の散乱断面積を求めたもので、原子核が一点に集中している場合に限定された式になります。

⑤は微分散乱断面積から全散乱断面積を求める積分式であり、これは散乱角が 0 度から 180 度まで全ての角度で積分を行うことによって求められます。この式は発散しますが、これは散乱角が 0 度に近づくと微分散乱断面積が非常に大きくなるためです。

原子核を半径 a の剛体球と仮定すると、微分散乱断面積は散乱角に依存せず定数となり、全散乱断面積は球の表面積に比例することから、有限の値をとります。これは、原子核が一点に集中している場合と異なり、原子核が球状に広がっていることを考慮した場合の式になります。

参考書については、初級レベルの物理学書であれば、大学の教科書や高校の物理学の教科書でも詳しく説明されている可能性があります。また、ラザフォード散乱の詳細については、一般的な物理学の教科書や専門書でも詳しく説明されています。