三択→二択の確率変化について

こんにちは。

量子力学についての一般向け解説書（講談社「ブルーバックス」のある１冊）をいま読んでいるのですが、その中に述べられている「確率」の考え方で、どうにも理解できないことがありました。
量子力学の考え方と関係があるのかもしれないと思ったので、こちらのカテゴリーで質問を投げさせていただきます。


そのまま引用すると長くなるので、問題箇所の要点を整理して書き直すと、

　1)Ａ，Ｂ，Ｃ３つの箱のどれか一つに百万ドルの「当たり」が入っていて、どれを選ぶか二回決めることができる

　2)あなたは一度目の選択でＡを選んだ

　3)出題者はＣの箱を開けて、それがカラであることを示した

　4)さてあなたは二度目の選択でどうするか？
　　（ａ）Ａ，Ｂどちらも同じ確率だから、あえて選択し直す理由はないので二度目もＡを選ぶ
　　（ｂ）Ｂを選び直す

…というものです。
私は、残った二つの中のどちらかが「当たり」なのだから、確率はＡ，Ｂどちらも半々だと思うので、（ａ）で良いと思いました。


しかしこの本の著者は
「物理学者や数学者も含め大部分の人はこの問題を最初に聞いたとき、次のように考える。『……お金の入っている確率は等しい』／しかしこれは大きな間違いである。……あなたの選択を変えるほうが完全に合理的な行為となる」

として、ＢのほうがＡより当たる確率が２倍になると述べています。
そしてその理由を以下のように説明しています。

「……（Ａに）お金が入っている確率は最初と同じで３分の１である。しかし、他の二つの箱のほうに入っていた場合、そのどちらにお金が入っているかについての貴方の無知は消滅している。最初の選択が間違っていた確率は３分の２であり、その場合、お金は中央の箱（Ｂ）にあることになる。選択を変えることで、勝つ確率が２倍になる。……」

この説明が私にはどうにも理解できないのです。
この説明を自分なりに解釈して書き直すと、次のようになると思います。

　・最初は、Ａが当たりの確率は１／３、ＢかＣのいずれかが当たりの確率は、合わせて２／３だった。
　・Ｃがカラだと判ったので、Ｂが当たりの確率は２／３になった
　・したがってＢのほうがＡよりもを選ぶ方が当たる確率が２倍である

…ということらしいのですが、何かヘンです。納得できないのです。

Ｃがカラであることが判明した時点で問題は３択から２択に変化したわけだから、Ａにお金の入っている確率も１／３から１／２に変化したのではないか？と思えてならないのです。

物理学にも数学にも素人の私ですので、どこかで解釈を間違うか勘違いしているのだろうとは思いますが、どこが間違っているのかが自分では判りません。

どなたか知恵をお借りできないでしょうか。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gag_box 回答日時： 2009/10/22 15:34

質問者さんの言っている説明以上のことはなかなか申し上げられないのですが

簡単にいえば、Aだけに張るか、B&Cに張るかってことで２倍の差が出来るわけです。

初めの段階では、どれが外れかわからないので、1/3の確率で選びます。

この時点でAにある確率は1/3、B&Cにある確率は2/3となります。


では、このとき、Aのままでいるか、B&Cに張るか変えてもいいよ、と言われたとします。

どうですか？

結局はBもしくはCの空の方を開けられたとしても、BもしくはCにある確率というのは変化しません。
そこでどちらかの選択肢を空だといって外してくれたなら、残った方に2/3の確率が残ることになります。

実際に友人と実験してみるのもよいかもしれません。

この回答へのお礼

さっそくご回答ありがとうございます。

ご回答文のはじめから
> どうですか？
の行までは解るのですが、

> 残った方に2/3の確率が残ることになります。
ここが今ひとつよく解らないのです。

Ｃがカラであることを示した時点で、当たりはＡかＢどちらかになるはずで確率は１／２になるのでは？と言う考えが頭から抜けませんでしたが、

> 実際に友人と実験してみるのもよいかもしれません。
これは良い提案を頂きました。

「解らない時にはまず実験」は自分の信条ですので、半信半疑ながら早速やってみたところ、
サイコロで当たりを決めて１０回の試行をしたうち、最初に選んだケースを変えない場合は当たりが３回、変えた場合は当たりが７回になりました。

不思議だが本当だ！
でも、なぜ？

例えば１回目の選択でＡを選ぶ前に、出題者がＣがカラであると示して除外したとしたら、当たりはＡかＢのどちらかだから確率は１／２であるのは自明ですよね。
質問のように１回目にＡを選んだのは仮の選択だし、それと同じ事ではないのか？と思えてならないのですが、自分の考えが間違っていることは実験ではっきりしましたので、他のご回答も参考に、よく考えてみます。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/10/22 19:33

No.3 回答者： yoshi170 回答日時： 2009/10/22 15:55

モンティ・ホール問題ですね。

問題を100個の箱にしてみましょう。
・Aを選んで当たる確率は1/100。
・A以外になる確率は99/100。
・出題者は答えを知っているので、99個の中から必ず当たりの箱を選べ、それを提示できる。
・出題者が提示する箱がはずれなのは99個の中にあたりがない場合のみ。
・99個の中にあたりがないのはAが正解だった時のみ。
・よって変更前では当選確率1/100だが変えると当選確率99/100。

出題者が答えを知っているというのがみそです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご回答のうち、
> ・出題者は答えを知っているので、99個の中から必ず当たりの箱を選べ、それを提示できる。

のところがよく理解できなかったのですが、ご回答をあれこれ考えているうちにやっと判りました。

つまり最初の問題を100個の箱から選ぶものとして、
　・あなたは１回目の選択でＡを選んだ
　・出題者は残り９９個のうちＢ以外の９８個がカラであることを示した

なるほどこれなら、Ｂを選びなおした方が当たり確率が高くなることが直感的にわかります。

> 出題者が答えを知っているというのがみそです。
ようやく判りました！
答えを知っている出題者が、いわば当たる確率を凝縮してくれたわけなのですね。

ANo.2のご回答で
>>選ばれていない２つの箱のうち当たりはずれに関係なく任意の箱を一つ開ける。（それが当たりならそこでゲーム終了）
>>これであれば、質問者さんの解釈で合っています。
の意味が実は今ひとつ判らなかったのですが、これもようやく判りました。

つまり、
もし出題者がＣがカラであることを示したのが偶然の結果であったとしたら、
Ａが当たりの確率は１／３、Ｂが当たりの確率も１／３で等しい（Ｃが当たりの確率も１／３だが、その場合は当たりを開けてしまうのでゲームが無効になってしまうので除外される）けれども、
出題者が正解を知っていてＣを開けたとすると、そこでＢの確率が２／３に高まるということですね。

ああ、ようやく昨日から引っかかっていたモヤモヤがすっきりしました。
ありがとうございます。


この場をお借りして、ご回答頂いたお三方に感謝いたします。
お三方の解答を全部合わせてやっと解決できましたので全員にポイントを差し上げたいところですが、そうも行かないので、回答順とさせて頂きますが、ご了承下さい。
機会がありましたらまたどうぞよろしく。

お礼日時：2009/10/22 22:02

No.2 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2009/10/22 15:46

これはゲームのルールが不明瞭でよくわかりません。

想像できるルール１
３つのうちの一つを選んだ後に親は残りの二つのうち、外れている箱を開ける（二つともはずれの場合は、任意の１つを開ける）
その後、残りの二つの箱のうちどちらかを再度選ばせる。

そう考えると、
最初にＡを選んで、しかも実はＡが当たりだった場合
Ｂを親が開ける確率は１／２。同様にＣを開ける確率は１／２。

最初にＡを選んで、実はＢが当たりだった場合
Ｃを開ける確率は１。

従って、Ｃを開けたとすれば、それはどちらかケースが発生していることになります。
するとＣを開けた場合のうち、２／３はＢが当たりになります。
逆にＣを開けた場合のうち１／３はＡが当たりになります。

というのが、ルール解釈の一つです。

もう一つのルール解釈は

想像できるルール２
３つのうちの一つを選んだ後に、選んだ物に関係なく、Ｃの箱を開ける。（Ｃが当たりだったらそこでゲーム終了）
または、
３つのうちの一つを選んだ後に選ばれていない２つの箱のうち当たりはずれに関係なく任意の箱を一つ開ける。（それが当たりならそこでゲーム終了）

これであれば、質問者さんの解釈で合っています。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

> これはゲームのルールが不明瞭でよくわかりません。

失礼いたしました。
前提条件を省略してしまいましたが、１回目の選択のあとで出題者は
　・回答者が選んだ箱は開けない
　・カラの箱を開ける
と言うことになっていますので、

> 想像できるルール１
にあたると思います。

> 従って、Ｃを開けたとすれば、それはどちらかケースが発生していることになります。
> するとＣを開けた場合のうち、２／３はＢが当たりになります。
> 逆にＣを開けた場合のうち１／３はＡが当たりになります。

なるほど、確かにその通りですよね。良くわかりました。

おかげさまで頭では理解できたのですが、自分の最初の考えはどこが間違っていたのかがまだ判らず、今ひとつ釈然としない想いが残っていますので、もう少し考えて見ます。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/10/22 20:30