物理の問題

物理の問題なのですがむずかしくてわかりません。教えて欲しいです。

電気抵抗 R に流れる電流を I とし, その間の電位差を V とすると, I =V/R という関係があり, この法則を Ohmの法則という. 電気抵抗 R は R = ρl/S で与えられ, ρ は抵抗率, l は長さ, S は断面積である. また, 抵抗率 ρ の逆数 σ = ρ^−1 を電気伝導率という.
Ohm の法則には微分表現もあり, j(r) = σE(r) という式で書かれる .
ここでは, Ohm の法則を Newton の運動方程式を用いて示してみる.
電子は電場によって加速されるが, 金属内の原子などとの衝突によって速度に比例した抵抗を受けるとすると,電子の運動方程式は,mdv/dt= eE −mv/τとなる. ここで, m は電子の質量, τ は時間の次元を持った定数であり, 緩和時間とよばれる.


(1) 時刻 t = 0 において速度 v = 0 として, この運動方程式を解け.
(2) さらに十分時間が経った (t → ∞) として, v はどうなるか求めよ.
(3) 電子密度を n とし, 定常状態での電流密度を求めよ.

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/22 00:35

前の音字質問に答えてあげたけど、「丸投げ」なので削除されたみたいだね。

「むずかしくて」って、どのように考えればよいのかぐらいわかるでしょ？
電子の運動方程式が与えられているんだから。

与方程式は

dv/dt = eE/m - (1/τ)v

これを解けば
　v(t) = eEτ/m - Cτ* e^[-(1/τ)t]　　　　①

（微分方程式は「変数分離」で簡単に解けます。それは別な場できちんと勉強してください）

(1) t=0 で v=0 とすると
　0 = eEτ/m - Cτ
→　C = eE/m

よって、①は
　v(t) = (eEτ/m){1 - e^[-(1/τ)t]}　　　②

(2) t → ∞ なら
　e^[-(1/τ)t] → 0
なので
　v(∞) = eEτ/m　　　③

(3) ③は速度の次元なので、断面積を S とすれば、単位時間に移動する体積 T(t) は
　T(t) = S*v(t)
定常状態（t→∞）では
　T(∞) = SeEτ/m

電子密度を n とすれば、単位時間に流れる電子の数は
　N = nT(∞) = nSeEτ/m
その電荷量は、電気素量 e をかけて
　eN = nSe^2*Eτ/m
これが単位時間に流れる電荷量なので、それは電流 I であり
　I = eN = nSe^2*Eτ/m　　　④

電場 E が一様であれば、その長さを L として、電位 V は
　E = V/L
なので、④は
　I = nSe^2*Vτ/(m*L)　　　　⑤
ここで、定数を
　1/ρ = ne^2*τ/ｍ
と書きかえれば、⑤は
　I = [S/(ρL)]V
ここで、さらに
　R = ρL/S
で置き換えれば
　I ＝V/R
でオームの法則となる。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/12/22 14:32

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/22 21:44

蛇足かも知れないけど

vは個々の電子の速度ではなくて
電子の集団としてのマクロな平均速度(ドリフト速度)のこと。

緩和時間とは電子の平均衝突時間間隔のことだけど
vが大きくなっても、何故τが減らないかを
理解しないとオームの法則を理解した事には
ならないことに注意。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2022/12/21 23:10

(1) は積分すれば良い。

高校数学で習う基本的な積分だ。積分定数は、初期値の条件を使って求める事ができる。

(1) ができたら (2) は、できるでしょ。

(3) も定常状態とは時刻 t → ∞ の状態である事から (2) の結果を使う。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/12/22 14:32