No.4ベストアンサー
- 回答日時:
No.1, 3。
コメントについて。εがナンのために出てきてるんだかがお分かりでないのかな、と思いました。
> w<zで∀n(a_n≦w)となるものがある仮定して矛盾を導く感じでしょうか。
わざわざ仮定しなくてもいいです。w<zである任意のwを考える。(列がzに収束するんだから)「任意の正数εに対して」のεとして(z - w)より小さい正の値を選ぶと、あるNが存在して
∀m(m>N ⇒ |a_m - z|<ε<(z - w))
である。だから
∀m(m>N ⇒a_m>w)
なので
∃m(a_m>w)
ついでに
> z<a_kとなる自然数kがあると仮定。
の方は、そう仮定すると、たとえば:
(列が単調増加だから)εとして(a_k - z)より小さい正の値を選べば、
∀m(m≧k ⇒ |z - a_m|≧|a_k - z|>ε)
である。なので
(j≧N ⇒ |a_j - z|<ε)
を満たすNは存在しない。だから列はzに収束しない。
No.3
- 回答日時:
> {a_n}は上に有界な単調増加数列なので
だからそこより先にいっても、zとの差は(a_n-z)より小さくならない。てことは、(a_n-z)より小さいεを選べば、zに収束しないことが示せる。
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背理法は考えたのですが、解法が思いつきませんでした。
z<a_kとなる自然数kがあると仮定。
{a_n}は上に有界な単調増加数列なので
ワイエルシュトラスの公理からsup{a_n}が存在する。すなわち、任意の自然数rに対してa_r≦sup{a_n}である。
あとは情報として自然数Nがありn≧Nならば|a_n-z|<εなので
z-ε<a_n<z+εがありますが、持って行き方が検討つきません
ちなみに、∀n(a_n≦z)を示した上でzが最小であることも示す必要ありますよね?
その時はw<zで∀n(a_n≦w)となるものがある仮定して矛盾を導く感じでしょうか。