A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
数列a(n)がαに収束するから
{lim_{n→∞}a(n)=αだから}
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a(n)-α|<ε
||a(n)|-|α||≦|a(n)-α|<ε
だから
∴
lim_{n→∞}|a(n)|=|α|
例)
a(n)=(-1)^n
α=1
とすると
|a(n)|=1
だから
lim[n→∞]|a(n)|=1=|1|=|α|
任意の自然数kに対して
m=2k+1>k
となる自然数mが存在して
|a(m)-α|
=|(-1)^m-1|
=|(-1)^(2k+1)-1|
=|-1-1|
=2>1
だから
a(n)=(-1)^nがα=1に収束しない
a(n)=(-1)^n
α=-1
とすると
|a(n)|=1
だから
lim[n→∞]|a(n)|=1=|-1|=|α|
任意の自然数kに対して
n=2k>k
となる自然数nが存在して
|a(n)-α|
=|a(n)+1|
=|(-1)^n+1|
=|(-1)^(2k)+1|
=|1+1|
=2>1
だから
a(n)=(-1)^nがα=-1に収束しない
No.2
- 回答日時:
f(x) = |x| に限らず、一般に連続な関数 f(x) について lim f(a_n) = f(lim a_n) です。
このことは、重要事項として高校の教科書にのっていますよ。
lim |a_n| = |α| を満たすが lim a_n = α ではない例としては、
a_n = (1 + 1/n)・(-1)^n なんてどうですか?
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