関数列の収束について 次の問題を教えて欲しいです。 区間［0,1) の関数列fnと関数f(x)につい

関数列の収束について
次の問題を教えて欲しいです。
区間［0,1) の関数列fnと関数f(x)について
関数fn(x)がf(x)に一様収束するならば、
lim［n→∞］∫［0→1］|fn(x)-f(x)|^2dx=0

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/01 20:20

fn(x) が f(x) に一様収束するというのは、

任意の正数 ε に対して
ε に依存し x には依存しない自然数 N が在って、
n > N のとき ｜fn(x) - f(x)｜ < ε が成り立つ
ということでしたね。
ピンと来なければ、「一様収束」の定義を確認のこと。
ε は任意だったので、任意の正数 ε₁ をとって
ε = √ε₁ としてもかまいません。 すると、
n > N のとき ｜fn(x) - f(x)｜² < ε₁ となります。
この不等式を x∈[0,1) で積分すれば、
任意の正数 ε₁ に対して自然数 N が在って、
n > N のとき ∫[0,1]｜fn(x) - f(x)｜² dx < ε₁ です。
これは、lim［n→∞］∫［0,1］｜fn(x) - f(x)｜² dx = 0
の定義そのものでしたね。