微分可能 連続 わからない

lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}= lim[h→0]{(f(a+h)-f(a))/h *h}=f’(a)*0=0
よって　lim[h→0]f(a+h)=f(a)
すなわち　lim[x→a]f(x)=f(a) であるから　x=aで連続である

f(x)がx=a微分可能ならx=aで連続であることの証明にこのようなものがありました。1行目から2行目でわからないところがあります。1行目のf(a+h)は収束するのでしょうか？1行目から2行目では
lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}=0
lim[h→0]f(a+h)-lim[h→0]f(a)=0
lim[h→0]f(a+h)-f(a)=0
lim[h→0]f(a+h)=f(a)
このような変形がされていると思います。しかし2行目のようにlimを分けるにはf(a+h)やf(a)が収束することがわかっていなければならないはずです。f(a)は定数なので収束すると思います。f(a+h)は収束するかわからないと思います。
教えてほしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/22 17:37

一行目で lim[h→0]{ f(a+h) - f(a) } = 0 の収束が言えたのなら、

収束が自明な lim[x→a] f(a) = f(a) と合わせて
lim[h→0] f(a+h) = lim[h→0]{ f(a+h) - f(a) + f(a) }
　　　　　　　= lim[h→0]{ f(a+h) - f(a) } + lim[h→0] f(a)
　　　　　　　= 0 + f(a)
　　　　　　　= f(a).

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/23 04:13

任意のε>0

に対して
あるδ>0が存在して
0<|x-a|<δとなる任意のxに対して
h=x-aとすると
|{f(x)-f(a)}/h-f'(a)|<ε
|{f(x)-f(a)}-hf'(a)|<|h|ε
|f(x)-f(a)|-|h||f'(a)|<|h|ε
|f(x)-f(a)|<|h|(|f'(a)|+ε)
だから
δ1=min{δ,ε/(1+|f'(a)|+ε)}
とすると
0<|x-a|<δ1となる任意のxに対して
0<|x-a|<δ1≦δだから
h=x-aとすると
|f(x)-f(a)|<|h|(|f'(a)|+ε)
|h|<δ1≦ε/(1+|f'(a)|+ε)だから
|f(x)-f(a)|<|h|(|f'(a)|+ε)<ε(|f'(a)|+ε)/(1+|f'(a)|+ε)<ε
|f(x)-f(a)|<ε
|x-a|=0の時はx=a,f(x)=f(a)だから
|f(x)-f(a)|=0<εだから
|h|<δ1となる任意のhに対して
|f(x)-f(a)|<ε
だから
任意のε>0
に対して
δ1>0が存在して
|x-a|<δ1となる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
だから極限の定義から
∴
lim_{x→a}f(x)=f(a)

極限の定義)
任意のε>0
に対して
δ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる時
lim_{x→a}f(x)=f(a)
と定義する

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/22 18:47

f(a) が h に依存しないので, 極限の定義から

lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}=0 なら lim[h→0]f(a+h)=f(a)
なんですよ.