解析学の問題です。 「正項級数は収束する、あるいは正の無限大に発散することを示せ。」 単調増加列はそ

解析学の問題です。

「正項級数は収束する、あるいは正の無限大に発散することを示せ。」
単調増加列はその上限に収束することを用いるようなのですがうまくできませんでした。

ご回答お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/16 13:34

正項級数の部分列は、単調増加列ですね。

有界単調列の収束を(公理としてか定理としてかは知らんけど)
既知としてよいということらしいから、後は、
上有界でない単調増加列は正の無限大に発散する
ことを示せば完成ですね。(ほどんど自明だけど。)

単調増大列 S[ ] が上に有界ではないとします。
非有界から、任意の実数 M に対して自然数 n が在って
S[n] > M が成り立ちますが、
単調増大なので、 k ≧ n なる自然数 k について S[k] > M です。
これは、無限大発散の定義そのものです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/16 08:59

無限和S∞を「n項目までの部分和」Snをならべた数列の極限だと思えばいいんです。